第13讲 共轭与正规子群 Jan 10, 2018 Shawn Abstract Algebra No comments yet 第14讲 商群 Jan 10, 2018 Shawn Abstract Algebra No comments yet 第15讲 同态与同构 Jan 10, 2018 Shawn Abstract Algebra No comments yet 第16讲 群同构定理 Jan 10, 2018 Shawn Abstract Algebra No comments yet 第17讲 群作用 Jan 10, 2018 Shawn Abstract Algebra No comments yet 1 … 5 6 7 8 9 10
![共轭 • 定义 ○ 当 G 是一个群，a,b∈G ○ a 与 b 共轭当且仅当存在 g∈G，使得 a=〖gbg〗^(−1) • 定理：共轭是一个等价关系 ○ 定义 a~b 当且仅当 a 与 b 共轭 ○ 自反性 § 注意到 a=〖aaa〗^(−1) § 所以 a~a ○ 对称性 § 如果 a~b⇒a=〖gbg〗^(−1) § g^(−1) ag=g^(−1) (〖gbg〗^(−1) )g § ⇒g^(−1) a(g^(−1) )^(−1)=b § 即 b~a ○ 传递性 § 如果 a~b, b~c § 可以找到 g,h 使得 a=〖gbg〗^(−1), b=hch(−1) § a=〖gh�h^(−1) g^(−1) § a=(ghc(gh^(−1) § ⇒a~c ○ 所以共轭是一个等价关系 • 共轭类 ○ 共轭在 G 上有等价类分割 ○ 定义共轭对应的等价类为共轭类 • 子集的共轭 ○ 令 S⊆G ○ 定义 S 在元素 g∈G 下的共轭为集合 〖gSg〗^(−1)={gsg^(−1) |s∈S} • 定理：|gSg^(−1) |=|S| ○ |S|=|gS|=|gSg^(−1) | • 共轭子群 ○ 当 H≤G，我们称 〖gHg〗^(−1) 为 H 的共轭子群 • 练习 ○ 证明 〖gHg〗^(−1) 的子群 ○ 即检验对乘法的封闭性和群的三个条件 正规子群 • 定义 ○ 一个 G 的子群 N 是正规子群当且仅当 N 的共轭子群只有一个 ○ 记作 N⊴G ○ 注：N=〖eNe〗^(−1) 恒成立，即 N 总是 N 自身的共轭子群 • 定理 ○ 下面的命题等价 1. N 是 G 的正规子群，即 N⊴G 2. N 里面的元素的共轭都在 N 里，即 ∀a∈N, 〖gag〗^(−1)∈N 3. N 是一个共轭类的并集 4. 对于任意元素 g∈G， gN=Ng ○ 证明 1⟺2 § 根据共轭的定义，∀a∈N, 〖gag〗^(−1)∈gNg^(−1)=N § 反过来如果 N 里的每个元素在 g 的共轭都在 N 里的话 § 那么 〖gNg〗^(−1)≤N § N=g^(−1) 〖gNg〗^(−1) (g^(−1) )^(−1)≤〖gNg〗^(−1)≤N § 故 N 的共轭子群只有 N 一个 ○ 证明 2⟺3 § 3⇒2 显然 § 以下证明 2⇒3 § 令 a∈N，那么 [a]⊆N § ⇒⋃8_(a∈N)▒[a] ⊆N § 另一方面，每个元素都会出现在它的共轭类内 § ⇒N⊆⋃8_(a∈N)▒[a] § 故 N=⋃8_(a∈N)▒[a] ○ 证明 1⟺4 § 〖gNg〗^(−1)=N⟺gN=Ng • 定理：如果 H≤G，N⊴G，那么 HN 以及 NH 都是 G 的子群 ○ 证明以 HN 为例 ○ 封闭性 § 让 hn, h′ n′ 为 HN 里的任意元素 § 考虑 （h(′−1) ）n（h(′−1) ）^(−1)=（h(′−1) ）nh′ § 因为 N 是一个正规子群，令 n^′′=（h(′−1) ）nh′∈N § 同时左乘 h′ 得 h′ n^′′=h′（h(′−1) ）nh′ § ⇒〖nh^′=h′ n^′′ § 考虑 (h�)(h′ n^′ )=h(nh′ ) n^′=h(h′ n^′′ ) n^′=(h^′ )(n^′′ n′)∈HN § 所以 HN 在乘法下封闭 ○ 结合律 § 直接从 G 得到 ○ 恒等元素 § e=e⋅e∈HN ○ 逆元素 § ∀hn∈HN § (h�)(h′ n^′ )=(h^′ )(n^′′ n′) § 令 h′=h(−1), n^′=(n^′′ )^(−1)=（(h′ )^(−1) nh′ ）^(−1) § 则 (h�)(h′ n^′ )=e，且可以验证 h′ n^′∈HN • 简单群 ○ 一个群 G 是一个简单群当且仅当 G 里不存在非平凡的正规真子群 • 练习 ○ 请证明指数为 2 的子群都是正规子群 ○ 请证明阿贝尔群的任意子群都是正规子群 ○ 请证明如果 |G|=p 是一个质数那么 G 是一个简单群](https://shawnzhong.com/wp-content/uploads/2018/01/img_5a562a3cf1910.png)
![群作用 • 定义 ○ 让 G 为任意群，S 为任意集合 ○ 定义 G 在 S 上的作用是 ○ 把 G 里的每个元素 g 对应到 S 上的映射 ϕ_g:S→S ○ 并且符合 § 对任意 g,g^′∈G, ϕ_g∘ϕ_g=ϕ_gg′ § 对于 e∈G，ϕ_e=1_S • 定理：任何 ϕ_g 都是双射，并且 ϕ_g 和 ϕ_(g^(−1) ) 互为逆映射 ○ ϕ_g∘ϕ_(g^(−1) )=ϕ_(gg^(−1) )=ϕ_e=1_S ○ ϕ_(g^(−1) )∘ϕ_g=ϕ_(g^(−1) g)=ϕ_e=1_S • 例1 ○ 让 G 为任意群，S 为任意集合 ○ 定义 ϕ_g=1_S ○ 可以证明 ϕ_g 符合群作用的两个条件 ○ 我们把这一作用称作平凡作用 • 例2 ○ [n]={1,2,…,n} ○ 定义 n 次对称群 (S_n={从 [n] 到 [n] 的映射},∘) ○ 定义对于任意 σ∈S_n，ϕ_σ (s)=σ(s) ○ 则这个作用为 [n] 上的置换 • 例3 ○ 让 G 为任意群，把 G 看成集合 ○ 可以把 G 作用在 G 上 ○ 定义左作用为 λ_g (h=gh ○ 定义右作用为 ρ_g (h=hg^(−1) ○ 定义共轭作用为 ϕ_g (h=ghg^(−1) ○ 练习：证明以上作用满足作用的两个条件 ○ 思考：为什么右作用要取 g 的逆 ○ 注：共轭作用即左作用和右作用同时作用在 h 上 • 记号 ○ 我们将 G 作用在 S 上记作 G↷S 我们将元素 s 在 ϕ_g 上的像 ϕ_g (s) 记作 g.s 简单和传递 • 简单 ○ 当 G↷S，我们称它是简单的 ○ 当且仅当 e 是唯一对应恒等映射 1_S 的群元素 • 传递 ○ 当 G↷S，我们称它是传递的 ○ 当且仅当对于任何 s,s^′∈S，有 g∈G 使得 g.s=s^′ • 例1：一般地，平凡作用即不简单，也不传递 • 例2：n 次对称群 S_n 在 [n] 上的作用即简单又传递 ○ 证明当作练习 • 例3：G 在 G 上的左作用和右作用即简单又传递 ○ 以左作用为例 ○ 简单 § 假设 λ_g=1_G § 则 ∀h∈G, λ_g (h=gh=h § 故 g=e § 所以这个作用是简单的 ○ 传递 § 假设 h→h′ § 我们想要找到 λ_g (h=gh=h′ § 则 g=h′ h(−1) § 所以这个作用是传递的 轨道 • 定义 ○ 给定 G↷S ○ 对于 x,y∈S 定义 x~y 当且仅当存在 g∈G 使得 g.x=y ○ 定义 ~ 对应的等价类 [x] 为轨道，记为 O_x • 定理：~ 是一个等价关系 ○ 自反性 § ∀x∈S § 存在 e∈G 使得 e.x=x § ⇒x~x ○ 对称性 § x~y 即 g.x=y § ⇒g^(−1).y=g^(−1).(g.x)=(g^(−1) g).x=e.x=x § 所以 y~x ○ 传递性 § x~y, y~z § 即存在 g 使得 g.x=y，存在 h 使得 h.y=z § 复合这两个作用得到 (h�).x=h.(g.x)=h.y=z § 所以 x~z](https://shawnzhong.com/wp-content/uploads/2018/01/img_5a562b0d81343.png)
