第5讲 罗素悖论（选修） Jan 06, 2018 Shawn Abstract Algebra No comments yet 第6讲 势与基数（选修） Jan 06, 2018 Shawn Abstract Algebra No comments yet 第7讲 定义良好 Jan 06, 2018 Shawn Abstract Algebra No comments yet 第8讲 群的定义 Jan 06, 2018 Shawn Abstract Algebra No comments yet 第9讲 子群与生成 Jan 10, 2018 Shawn Abstract Algebra No comments yet 1 2 3 4 … 6
![无限集合与有限集合 • 定义 ○ 若集合 A 与它的一个真子集存在一一对应，则称之为无限集合 ○ 若一个集合不是无限集合，我们称它为有限集合 • 例1 ○ 对于整数集 Z ○ 定义偶数集 2Z={2n∈Z n∈Z ○ 则 2Z⫋Z ○ 存在双射 f:Z→2Z, n↦2n ○ 故整数集 Z 为无限集合 • 例2 ○ 对于自然数集 N={0,1,2,…} ○ 定义 N 的真子集 N+1={1,2,…} ○ 存在双射 g:N→N+1, n↦n+1 ○ 故自然数集 N 为无限集合 集合的势 • 集合的势 ○ 集合的势即为集合的大小 ○ 集合 A 的势记作 |A| • 等势 ○ 集合 A 与 B 等势，当且仅当存在双射 f:A→B ○ 即 A 与 B 之间有一一对应 ○ 记作 |A|=|B| • 势之间的比较 ○ 集合 A 的势小于或等于 B 的势，当且仅当存在单射 f:A→B ○ 记作 |A|≤|B| • 等势的性质 ○ 对任意集合 A, |A|=|A| § 由恒等映射 1_A 是双射得出 ○ 如果 |A|=|B| § 根据双射的性质 § 对于双射 f:A→B，必然存在逆映射 f^(−1):B→A ○ 如果 |A|=|B| § 根据复合的性质 § 双射 f:A→B 和 g:B→C 的复合 g∘f:A→C 仍是双射 ○ 注：以上三条性质可以类比等价关系的三条性质 基数 • 引入 ○ 等势是集合与集合之间的一个等价关系 ○ 对于其每个等价类 [A]，我们用 |A| 来代替，又被称作 A 的基数 ○ 对于有限集合 A, |A|=元素的个数 ○ 我们可以将自然数定义为 N={有限集合的基数} • 记号 ○ |N=ℵ_0 ○ |R=c • 基数的性质 ○ 对任意集合 A, |A|=|A| § 可以通过恒等映射 1_A 得出 ○ 如果 |A|≤|B|, 且 |B|≤|A|，那么 |A|=|B| § 根据康托尔－伯恩斯坦－施罗德定理 ○ 如果 |A|≤|B|, 且 |B|≤|C|，那么 |A|≤|C| § 根据映射的复合 ○ 注：以上三条性质可以类比偏序关系的三条性质 • 基数之间的运算 ○ |A|+|B|=|A⊔B| ○ |A|×|B|=|A×B| ○ |A|^|B| =|A^B | • 练习 1. 对于有限集合，举例验证基数运算和自然数运算是一样的 2. 如果 A 是无限集合那么有 ℵ_0≤|A| 3. |A|≤|A|+|B| 4. |A|+|A|=2|A| 5. ℵ_0×ℵ_0=ℵ_0^2=ℵ_0 6. 2^(ℵ_0 )=c • 定理：对于任意集合 A，|A|<|2^A | ○ 首先证明 |A|≤|2^A | § 构造映射 f:A→2^A, a↦{a} § 易证映射 f 为单射 ○ 再用反证法证明 |A|≠|2^A | § 假设存在双射 f:A→2^A § 定义集合 B={x∈A|x∉f(x)} § 令 b∈A 使得 f(b)=B § 若 b∈f(b)=B，那么 b∉f(b) § 若 b∉f(b)=B，那么 b∈f(b) § 存在矛盾，故不存在这样的双射 § 即 |A|≠|2^A | ○ 故 |A|<|2^A | • 连续统假设 ○ |N=ℵ_0, 2^(ℵ_0 )=c ○ 根据以上定理有 ℵ_0<c ○ 康托尔将无穷基数从小到大排列为 ℵ_0, ℵ_1, ℵ_2⋯ ○ 连续统问题即 c =┴? ℵ_0 ○ 已被证明连续统假设和公理化集合论相洽 ○ 即在公理化集合论内无法证明或真伪这个问题](https://shawnzhong.com/wp-content/uploads/2018/01/img_5a50f78df0bf8.png)
![复习 • 商集 ○ 令 A 为任意集合，~ 为 A 上的一个等价关系 ○ A\/~\={[a]|a∈A} • 等价类 ○ [a]={x∈A|a~x} 定义良好 • 引入 ○ 想定义映射 f:A\/~→B, [a]↦f([a]) ○ 为计算 f([a]) 一般会在 [a] 中选取一个代表元 ○ 假设 [a]=[b] 但 a≠b ○ f([a])=f([b]) 恒成立 ○ 但 f(a)=f(b) 不一定满足 • 定义 ○ 一个从商集 A\/~ 到集合 B 的映射 f([a])=f(a) 定义良好 ○ 当且仅当对于任意 a~b 总有 f(a)=f(b) • 例1 ○ A\/~={24个小时}\/~\={钟表上的刻度} ○ 定义函数 f:A\/~→R 为该钟表刻度对应的室外温度 ○ 这个函数一般地不是定义良好 ○ 因为不能保证上午下午同一时刻的室外温度都相等 • 例2 ○ {班上的同学}\/性别={男生,女生} ○ 定义函数 f 为班上男同学与女同学的成绩之差 ○ 这个函数一般地不是定义良好 ○ 因为根据选取同学的不同，结果不同 ○ 思考题：在什么样的班上这个函数是定义良好的？ • 例3 ○ 在整数集 Z 内定义等价关系 ~ 为除以正整数 n 同余 ○ 定义集合 Z\/n=Z\/~\={0,1,2,3,…,n−1} ○ 在 Z\/n 下定义加法 +:Z\/n×Z\/n→Z\/n,([a],[b])↦([a+b]) § 验证定义良好 § 假设 a~c, b~d，那么 [a]=[c], [b]=[d] § 我们要验证 [a+b] =┴? [c+d] § 若 a 和 c 同余，则 a−c=kn, k∈N § 若 b 和 d 同余，则 b−d=ln, l∈N § (a+b)−(c+d)=(a−c)+(b−d)=(k+l)n § 即 a+b 和 c+d 同余 § 故 [a+b]=[c+d] ○ 在 Z\/n 下定义乘法 +:Z\/n×Z\/n→Z\/n,([a],[b])↦([a×b]) § 验证定义良好 § 假设 a~c, b~d，那么 [a]=[c], [b]=[d] § 我们要验证 [a×b] =┴? [c×d] § 若 a 和 c 同余，则存在 p,q 使得 a−mp=c−mq § 若 b 和 d 同余，则存在 s,t 使得 b−ms=d−mt § （a−mp）（b−ms）=(c−mq)(d−mt) § ⇒ab−cd=m(as+bp−msp−ct−dq+mqt) § 即 ab 和 cd 同余 § 故 [a×b]=[c×d]](https://shawnzhong.com/wp-content/uploads/2018/01/img_5a50f7a83f812.png)
![群 • 定义 ○ 一个群 (G,∗) 是一个由集合 G 以及定义在 G 上的二元运算 ∗ ○ 二元运算∗:G×G→G,(a,b)↦a∗b 要符合以下条件 i. 结合律：(a∗b)∗c=a∗(b∗c) ii. 恒等元素：G 里存在 e 使得 ∀a∈G，均有a∗e=e∗a=a iii. 逆元素：∀a∈G，存在 a^(−1)∈G，使得 a∗a^(−1)=a^(−1)∗a=e ○ 注：这个二元运算又叫做乘法 • 例1：(Z+) ○ ∀m,n∈Z, m+n∈Z ○ (m+n)+l=m+(n+l) ○ m+0=0+m=m ○ m+(−m)=(−m)+m=0 • 例2：(Zn,+) • 例3：({e},∗) ○ e∗e=e ○ 我们将这个群称为平凡群 • 例4 ○ 定义 [n]={1,2,…,n} ○ 定义 S_n={所有从 [n] 到 [n] 的双射} ○ 可以证明复合运算 ∘ 在 S_n 上定义了一个群结构 § (f∘g)∘h=f∘(g∘h § 1_[n] ∘h=h∘1_[n] =h § ∀f∈S_n, f^(−1):[n]↦[n] § f∘f^(−1)=f^(−1)∘f=1_[n] ○ 我们将这个群称为 n 次对称群 • 例5 ○ 在三维空间内选定一个点 P ○ ({所有围绕 P 的旋转},∘) 是一个群，记为 〖SO〗_3 • 例6 ○ 让 n 为任意正整数，构造正 n 边形 P_n ○ D_2n={所有 P_n 的对称} ○ |D_2n |=2n ○ 例如正五边形包括5个轴对称和5个中心对称 ○ (D_2n,∘) 构成一个群 ○ 我们将这个群称为二面体群 • 例7 ○ 定义 S^1={z∈ℂ│|z|=1} ○ (S^1,×) 构成一个群 ○ 若 |z|=|w|=1， ○ 我们将这个群称为单位圆群 • 阿贝尔群 ○ 阿贝尔群 = 交换群 ○ 群是可交换的当且仅当 ∀a,b, a∗b=b∗a 群的性质 • 定理 1：群的恒等元素只有一个 ○ 假设 e 和 e′ 都是恒等元素 ○ 那么 e=e∗e^′=e^′ • 定理 2：对于任意元素 a ○ 假设 a 有两个逆 b,b^′ ○ b=e∗b=(b^′∗a)∗b=b^′∗(a∗b)=b^′∗e=b^′ • 定理3：对于任意 a,b∈G, (a∗b)^(−1)=b^(−1)∗a^(−1) ○ (ab)(b^(−1) a^(−1) )=a(bb^(−1) ) a^(−1)=aea^(−1)=aa^(−1)=e ○ (b^(−1) a^(−1) )(ab)=b^(−1) (a^(−1) a)b=b^(−1) eb=b^(−1) b=e • 定理 4：对于任意元素 a∈G，(a^(−1) )^(−1)=a ○ a∗(a^(−1) )=(a^(−1) )∗a=e ○ ⇒a=(a^(−1) )^(−1)](https://shawnzhong.com/wp-content/uploads/2018/01/img_5a50f7c0ecdd2.png)
![子群 • 定义 ○ 群 (G,∗) 的一个子群是 H⊆G ○ 并且 ∗ 限定到 H 上，使得 H 称为一个群 ○ 记作 H≤G ○ 若 H 是 G 的真子群，则记作 H<G • 例1 ○ (Z+) ○ 令 nZ={kn|k∈Z ○ 则 (nZ+) 是 (Z+) 的子群 • 例2 ○ S_n=({[n]→[n] 的双射},∘) ○ 令 H={f∈S_n |f(n)=n} 则 H<S_n ○ 事实上，H 和 S_(n−1) 是一样的群 • 例3 ○ (D_2n,∘) ○ D_2n 中有两种对称，轴对称和中心旋转对称 ○ 只考虑中心旋转对称，我们可以得到一个群 (C_n,∘) ○ 则 (C_n,∘) 是 (D_2n,∘) 的子群 • 例4 ○ 对于任意群 G，{e}≤G ○ 即平凡群是任何群的子群 ○ 正如空集是任意集合的子集 子群的性质 • 定理1：如果 H≤G，那么 H 的恒等元素也是 G 的恒等元素 ○ 假设 H 的恒等元素为 e^′，那么 (e^′ )^2=e^′ ○ 〖(e^′ )^(−1) (e^′ )〗^2=(e^′ )^(−1) e^′ ○ 即 e^′=e • 定理2：如果 H≤G, a∈H，那么 a 在 H 里的逆等于 a 在 G 里的逆 ○ 分别把 a 在 H,G 里的逆记为 b^′,b ○ 那么有 b^′=b^′ e=b^′ (ab)=(b^′ a)b=eb=b 生成 • 定义 ○ 令 G 为任意群，S 为 G 的一个子集 ○ 定义由 S 生成的子群为 ⟨S⟩=⋂8_(S≤H≤G)▒H ○ 我们把 S 称为 ⟨S⟩ 的生成集合 ○ 把 s∈S 称为 ⟨S⟩ 的生成元素 • 定理 ○ 命题 § 当 {H_α |a∈I} 是一个由 G 里的子群所组成的集合 § 那么 H=⋂8_(α∈I)▒H_α 也是 G 的子群 ○ 证明 § 封闭性（∀a,b∈H, a∗b∈H） □ 取任意 a,b∈H □ 根据交集的定义，a,b∈H_α,∀α∈I □ 根据子群的封闭性 a∗b∈H_α, ∀α∈I □ 根据交集的定义，a∗b∈H § 结合律 □ 不需要验证，直接从 G 得到 § 存在恒等元素 □ e∈H_α, ∀α □ ⇒e∈H § 存在逆 □ 对于任意 a∈H □ a∈H_α, ∀α □ ⇒a^(−1)∈H_α, ∀α □ ⇒a^(−1)∈H § 故H=⋂8_(α∈I)▒H_α 是 G 的子群 • 练习 ○ 对于 (Z+)，问以下子集生成的子群是什么？ § {0} § {8} § {8,9} ○ 证明：如果 S={n_i }⊆Z，那么 ⟨S⟩=⟨{所有 n_i 的最大公约数}⟩ ○ 证明：如果 H⊆G 那么 H≤G 当且仅当 § H 不为空集 § 对于任意 a,b∈H, a^(−1),b^(−1)∈H ○ 证明：如果 G 是一个有限群，H⊆G 那么 H≤G 当且仅当 § H≠∅ § ∀a,b∈H, a∗b∈H](https://shawnzhong.com/wp-content/uploads/2018/01/img_5a5629b6cdfc9.png)