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Mathematics

Home / Notes / Mathematics / Page 60

第24讲 线性空间(一)

  • Jul 13, 2017
  • Shawn
  • Linear Algebra
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24.1 线性空间的定义 • 线性空间最一般的定义 ○ 非空集合 V 和 数域 P (一般为R ○ 可定义加法(对加法封闭) § α, β∈V⇒α+β∈V ○ 可定义数乘(对数乘封闭) § α∈V,k∈P⇒kα∈V ○ 八条性质 1. α+β=β+α 2. (α+β)+γ=α+(β+γ) 3. α+(−α)=0 4. α+0=α 5. (kl)α=k(lα) 6. (k+l)α=kα+lα 7. k(α+β)=kα+kβ 8. 1α=α • 进一步的性质 ○ 消去律:α+β=α+γ⇒β=γ § α+β=α+γ § −α+α+β=−α+α+γ § β=γ ○ 零向量唯一 § 假设由两个零向量 0_1 和 0_2 § 则 0_1+0_2=0_1=0_2 § 故零向量唯一 ○ 负向量唯一 § 假设 α+β=0, α+γ=0 § 法一:消去率 § 法二:β=β+0=β+α+γ=0+γ=γ ○ 0α=0 ⃗ § α+0α=(1+0)α=α+0 ⃗ § 根据消去率有 0α=0 ⃗ ○ k0 ⃗=0 ⃗ § k0 ⃗+kα=k(0 ⃗+α)=kα+0 ⃗ § 根据消去率有 k0 ⃗=0 ⃗ ○ (−1)α=−α § (−1)α+α=(−1+1)α=0α=0 ⃗ § 又因为负向量唯一,故 (−1)α=−α ○ kα=0⇒k=0 or a=0 ⃗ § 若 k≠0,则 k^(−1) (kα)=1α=α=0 24.2 维数、基与坐标 • 维数 (dimension) ○ 若 V 中最多有 n 个线性无关的向量 ○ 则称线性空间 V 的维数为 n ○ 记作 dim⁡(V)=n ○ 注 § dim⁡(Rn )=n § 所有 deg≤n 的多项式 R_n [x] 的维数为 n+1 § 所有多项式 R[x] 不在线性空间的讨论范围 • 基 (basis) ○ n 维线性空间内 n 个线性无关的向量(不唯一) • 坐标 (coordinate) ○ 若 (e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ 为一组基 ○ 则 α ⃗, (e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ 一定线性相关 ○ 即 α ⃗=k_1 (e_1 ) ⃗+…k_n (e_n ) ⃗ ○ 且 k_1…k_n 唯一 ○ 我们将 (k_1…k_n) 称作坐标 • 例子 ○ ℂ 可以看作是 R 上的线性空间 § 基为 1 和 i § α ⃗=1a+bi∈ℂ (a,b∈R) ○ ℂ 可以看作是 ℂ 上的线性空间 § 基为 1 § α ⃗=1α ⃗∈ℂ (α ⃗∈ℂ) ○ Rn 最常用的一组基为 § (e_1 ) ⃗=(1,0,0…0)^T § (e_2 ) ⃗=(0,1,0…0)^T § ⋮ § (e_n ) ⃗=(0,0,0…1)^T ○ R_n [x] 最常用的一组基为 § 1,x, x^2, x^3…x^n 24.3 线性子空间 • 定义 ○ V 是线性空间,W⊂V ○ 若 W 对于加法、数乘也构成线性空间, • 定理 ○ 若 W⊂V 且 W 对加法、数乘封闭,则 W 为子空间 • 平凡子空间 ○ V ○ {0 ⃗ } • 常用子空间的例子 ○ R_n [x] 是 R[x] 的子空间 ○ Ax ⃗=0 的解集 § 记为 N(A) ,又称零空间 (null space) § 基为基础解系 § 维数为 n−r(A) ○ 生成空间 § 由 (α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗ 生成的空间 § {k_1 (α_1 ) ⃗+…+k_s (α_s ) ⃗ ┤| k_1…k_s∈R} § 记为 L((α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗)
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第25讲 线性空间(二)

  • Jul 13, 2017
  • Shawn
  • Linear Algebra
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25.1 基变换与坐标变换 • 引入 ○ 假设 n 维线性空间 V 有两组基 § (e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ 和 (e_1 ) ⃗^′…(e_n ) ⃗^′ ○ 两组基之间有以下关系 § (e_1 ) ⃗^′=a_11 (e_1 ) ⃗+a_21 (e_2 ) ⃗+…a_n1 (e_n ) ⃗ § (e_2 ) ⃗^′=a_12 (e_1 ) ⃗+a_22 (e_2 ) ⃗+…a_n2 (e_n ) ⃗ § ⋮ § (e_n ) ⃗^′=a_1n (e_1 ) ⃗+a_2n (e_2 ) ⃗+…a_nn (e_n ) ⃗ ○ 可讲上式形式上记为 ((e_1 ) ⃗^′…(e_n ) ⃗^′ )=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )A ○ 其中 A=(■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_n1&a_n2&…&a_nn )) • 基变换 ○ ((e_1 ) ⃗^′…(e_n ) ⃗^′ )=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )A ○ 可逆矩阵 A=(■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_n1&a_n2&…&a_nn )) ○ A 被称为转移矩阵或过渡矩阵 (transition matrix) • 性质 ○ [((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )A]B=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )(AB) ○ ((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )A+((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )B=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )(A+B) ○ ((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )A+((e_1 ) ⃗^′…(e_n ) ⃗^′ )A=((e_1 ) ⃗+(e_1 ) ⃗^′,…,(e_n ) ⃗+(e_n ) ⃗^′ )A • 坐标变换 ○ 对于 α ⃗∈V,可以分别用两组基来表示 § α ⃗=a_1 (e_1 ) ⃗+…+a_n (e_n ) ⃗=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )(■8(a_1@⋮@a_n )) § α ⃗=b_1 (e_1 ) ⃗′+…+b_n (e_n ) ⃗′=((e_1 ) ⃗′…(e_n ) ⃗′)(■8(b_1@⋮@b_n )) ○ 将 ((e_1 ) ⃗^′…(e_n ) ⃗^′ )=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )A 代入得 § α ⃗=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )A(■8(b_1@⋮@b_n ))=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )(A(■8(b_1@⋮@b_n ))) ○ 因为同一组基下的坐标表示唯一,有 § (■8(a_1@⋮@a_n ))=A(■8(b_1@⋮@b_n ))⇔(■8(b_1@⋮@b_n ))=A^(−1) (■8(a_1@⋮@a_n )) • 例题 ○ 假设 V=Rn 有两组基 § (e_1 ) ⃗=(■8(1@0@⋮@0)),(e_2 ) ⃗=(■8(0@1@⋮@0)),…,(e_n ) ⃗=(■8(0@0@⋮@1)) § (e_1 ) ⃗^′=(■8(1@1@⋮@1)),(e_2 ) ⃗^′=(■8(0@1@⋮@1)),…,(e_n ) ⃗′=(■8(0@0@⋮@1)) ○ 若 α ⃗ 在两组基下的坐标分别为 (x_1…x_n )^T, (y_1…y_n )^T § 则{█(y_1=x_1@y_1+y_2=x_2@⋮@y_1+…y_n=x_n )⇔{█(y_1=x_1@y_2=x_2−x_1@⋮@y_n=x_n−x_(n−1) )┤┤ ○ 两组基之间的关系为 § ((e_1 ) ⃗^′…(e_n ) ⃗^′ )=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )A § 其中转移矩阵 A=(■(1&&&@1&1&&@⋮&⋮&⋱&@1&1&…&1)) ○ 故坐标变换为 § (■8(x_1@⋮@x_n ))=A(■8(y_1@⋮@y_n ))=(■(1&&&@1&1&&@⋮&⋮&⋱&@1&1&…&1))(■8(y_1@⋮@y_n )) § (■8(y_1@⋮@y_n ))=A^(−1) (■8(x_1@⋮@x_n ))=(■(1&&&@−1&1&&@&⋱&⋱&@&&−1&1))(■8(x_1@⋮@x_n )) 25.2 线性空间的同构 • 向量和坐标之间的映射 ○ n 维线性空间 V 有一组基 (e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ ○ 对于任意 α ⃗∈V 都存在 § α ⃗=a_1 (e_1 ) ⃗+…+a_n (e_n ) ⃗∈V § α ⃗ 的坐标为 (a_1,…,a_n )^T∈Rn ○ 即存在映射 § V→┴σ Rn § α ⃗↦┴σ (a_1,…,a_n )^T ○ 即 σ(α ⃗ )=(a_1,…,a_n )^T ○ 故此映射是一一映上的(一一对应) ○ 且此映射还需满足 ○ 对加法封闭 § α ⃗: (a_1,…,a_n )^T § β ⃗:(b_1…b_n )^T § α ⃗+β ⃗=a_1 (e_1 ) ⃗+…+a_n (e_n ) ⃗+b_1 (e_1 ) ⃗+…+b_n (e_n ) ⃗ § =(a_1+b_1 ) (e_1 ) ⃗+…+(a_n+b_n ) (e_n ) ⃗ § σ(α ⃗+β ⃗ )=(a_1+b_1,…,a_n+b_n )^T § =(a_1,…,a_n )^T+(b_1…b_n )^T=σ(α ⃗ )+σ(β ⃗ ) ○ 对数乘封闭 § σ(kα ⃗ )=kσ(α ⃗ ) § 证明略 • 同构 ○ 数域 P 上的两个线性空间 V,V^′ ○ 若存在一个由 V 到 V′ 的一一对应 σ ○ 使得 σ(α ⃗+β ⃗ )=σ(α ⃗ )+σ(β ⃗ ) 且 (kα ⃗ )=kσ(α ⃗ ) ○ 则称 V 与 V′ 同构 (Isomorphic) ○ σ 被称为同构映射 (Isomorphism) • 注:任意一个 n 维线性空间 V 都与 Rn 同构 • 同构的性质 ○ σ(0)=0 § σ(kα ⃗ )=kσ(α ⃗ ) 令 k=0 ○ σ(−α ⃗ )=−σ(α ⃗ ) § σ(kα ⃗ )=kσ(α ⃗ ) 令 k=−1 ○ 保持线性组合 § σ(k_1 (α_1 ) ⃗+…k_s (α_s ) ⃗ )=k_1 σ((α_1 ) ⃗ )+…+k_s σ((α_s ) ⃗ ) ○ 保持线性相关性 § (α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗ 线性相关⇔σ((α_1 ) ⃗ )…σ((α_s ) ⃗ ) 线性相关 § (α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗ 线性无关⇔σ((α_1 ) ⃗ )…σ((α_s ) ⃗ ) 线性无关 ○ V 与 V′ 同构 ⇔dim⁡(V)=dim⁡(V^′ ) § 证明暂略 ○ 同构映射的逆映射还是同构映射 § 同构映射 σ: V→V^′ § 先证逆映射对加法封闭 § 即要证 σ^(−1) (σ(α ⃗ )+σ(β ⃗))=α ⃗+β ⃗ § σ[σ^(−1) (σ\(α ⃗ )+σ(β ⃗))]=σ\(α ⃗)+σ(β ⃗)=σ(α ⃗+β ⃗) § 又因为 σ 一一对应 § 故 σ^(−1) (σ\(α ⃗ )+σ(β ⃗))=α ⃗+β ⃗ § 再证逆映射对数乘封闭 § σ[σ^(−1) (kσ\(α ⃗))]=kσ\(α ⃗)=σ(kα ⃗) § 又因为 σ 一一对应 § 故 σ^(−1) (kσ\(α ⃗))=kα ⃗ ○ 两个同构映射的乘积(复合)还是同构映射 § 同构映射 σ: V→V^′ 和 τ: V^′→〖V^′〗^′ § τ(σ(α ⃗+β ⃗ ))=τ(σ(α ⃗ )+σ(β ⃗ ))=τ(σ(α ⃗ ))+τ(σ(α ⃗ )) § 证明数乘略 • 定理1:同构是一种等价关系 ○ 反身性:V 与 V 同构 § σ(α ⃗ )=α ⃗ ○ 对称性:若 V 与 V′ 同构,则 V′ 与 V 同构 § 同构映射的逆映射还是同构映射 ○ 传递性:若 V 与 V′ 同构,V′ 与 V′′ 同构,则 V 与 V′′ 同构 § 两个同构映射的乘积(复合)还是同构映射 • 定理2:dim⁡(V)=dim⁡(V^′ )⇒ V 与 V′ 同构 ○ n 维线性空间 V 与 Rn 同构 ○ n 维线性空间 V′ 与 Rn 同构 ○ 根据同构的传递性得 V 与 V′ 同构
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第26讲 线性变换

  • Jul 14, 2017
  • Shawn
  • Linear Algebra
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26.1 定义与性质 • 变换 ○ 线性空间 V 到自身的映射 • 定义:线性变换 ○ 存在线性空间 V 和线性变换 A ,满足以下性质 ○ 保持向量的加法 § ∀α ⃗,β ⃗∈V § A(α ⃗+β ⃗ )=A(α ⃗ )+A(β ⃗ ) ○ 保持向量的数乘 § A(kα ⃗ )=kA(α ⃗) • 例子 ○ 零变换 § 0(α ⃗ )=0 ⃗ ○ 恒等变换(恒同变换) § I(α ⃗ )=α ⃗ ○ 缩放变换 § K(α ⃗ )=kα ⃗ ○ R2 上的旋转变换 § R2→R2 § (■8(x′@y′))=(■8(cos⁡θ&−sin⁡θ@sin⁡θ&cos⁡θ ))(■8(x@y)) ○ 矩阵变换 § Rn→Rn § α ⃗↦Aα ⃗ ○ 求导运算 § D(f(x))=f^′ (x) ○ 投影 § Π_α ⃗ (β ⃗ )=‖■8(β ⃗ )‖⋅cos⁡θ⋅■8(α ⃗ )/‖■8(α ⃗ )‖ § ∵α ⃗⋅β ⃗=‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ cos⁡θ § ∴Π_α ⃗ (β ⃗ )=(α ⃗⋅β ⃗)/(α ⃗⋅α ⃗ )⋅α ⃗ • 性质 ○ 作用在特殊的向量 § A(0 ⃗ )=0 ⃗ § A(−α ⃗ )=−A(α ⃗ ) ○ 保持线性组合(关系) § α ⃗=k_1 (ϵ_1 ) ⃗+…+k_s (ϵ_s ) ⃗ § ⇒A(α ⃗ )=k_1 A((ϵ_1 ) ⃗ )+…+k_s A((ϵ_s ) ⃗ ) ○ 保持线性相关性 § (α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗ 线性相关⇒A((α_1 ) ⃗ )…A((α_s ) ⃗ ) 线性相关 § 但不保持线性无关性,如零变换 26.2 线性变换的运算 • 线性变换的运算 ○ 加法 § (A+B)(α ⃗ )=A(α ⃗ )+B(α ⃗ ) ○ 数乘 § (kA)(α ⃗ )=kA(α ⃗ ) ○ 乘法(复合) § AB(α ⃗ )=A(B(α ⃗ )) ○ 逆变换 § 若 AB=BA=I § 则 B 叫做 A 的逆变换,记作 A^(−1) • 线性变换乘法的性质 ○ 满足结合律 § (AB)C=A(BC) § 证明略 ○ 不满足交换律 § 由于矩阵乘法不满足交换律 ○ 恒同变换的单位元 I § IA=A=AI • 线性变换的乘积 AB 是线性变换 ○ 证明:线性变换的乘积对加法封闭 § AB(α ⃗+β ⃗ ) § =A(B(α ⃗ )+B(β ⃗ )) § =A(B(α ⃗ ))+A(B(β ⃗ )) § =AB(α ⃗ )+AB(α ⃗β ⃗ ) ○ 证明:线性变换的乘积对数乘封闭 § AB(kα ⃗ )=A(kB(α ⃗ ))=kAB(α ⃗ ) • 线性变换 A 的逆变换 A^(−1) 是线性变换 ○ 证明:线性变换的逆变换对加法封闭 § A^(−1) (α ⃗+β ⃗ ) § =A^(−1) (I(α ⃗)+I(β ⃗)) § =A^(−1) (AA^(−1) (α ⃗)+AA^(−1) (β ⃗)) § =A^(−1) [A(A^(−1) (α ⃗ )+A^(−1) (β ⃗))] § =A^(−1) A(A^(−1) (α ⃗ )+A^(−1) (β ⃗ )) § =I(A^(−1) (α ⃗ )+A^(−1) (β ⃗ )) § =A^(−1) (α ⃗ )+A^(−1) (β ⃗ ) ○ 证明:线性变换的逆变换对数乘封闭 § A^(−1) (kα ⃗ )=A^(−1) (kAA^(−1) (α ⃗ ))=kA^(−1) (α ⃗ ) • 线性变换的加法是线性变换 ○ 证明:线性变换的加法对加法封闭 § (A+B)(α ⃗+β ⃗ ) § =A(α ⃗+β ⃗ )+B(α ⃗+β ⃗ ) § =A(α ⃗ )+A(β ⃗ )+B(α ⃗ )+B(β ⃗ ) § =A(α ⃗ )+B(α ⃗ )+A(β ⃗ )+B(β ⃗ ) § =(A+B)(α ⃗ )+(A+B)(β ⃗) ○ 证明:线性变换的加法对数乘封闭 § (A+B)(kα ⃗ ) § =A(kα ⃗ )+B(kβ ⃗ ) § =kA(α ⃗ )+kB(α ⃗ ) § =k(A+B)(α ⃗) • 线性变换的数乘是线性变换 ○ 证明:线性变换的数乘对加法封闭 § (kA)(α ⃗+β ⃗ ) § =k(A(α ⃗+β ⃗ )) § =k(A(α ⃗ )+A(β ⃗ )) § =(kA)(α ⃗ )+(kA)(β ⃗) ○ 证明:线性变换的数乘对数乘封闭 § 证明略 • 定理 ○ 线性空间 V 上的所有线性变换 LT(V) 是线性空间 • 例子 26.3 线性变换的矩阵表示 • 引例 ○ 假设线性空间 V 和线性变换 A ○ 线性空间 V 内的任意向量都可以用一组基来表示 ○ 即 ∀α ⃗∈V, α ⃗=a_1 (ϵ_1 ) ⃗+…a_n (ϵ_n ) ⃗ ○ 将线性变换 A 作用在 α ⃗ 上,可以得到 ○ A(α ⃗ )=a_1 A((ϵ_1 ) ⃗ )+…+a_n A((ϵ_n ) ⃗ ) ○ 发现 A 在 α ⃗ 上的作用完全由 A 在基上的作用决定 • 性质1:线性变换由其在基上的作用决定 ○ A=B⇔A((ϵ_i ) ⃗ )=B((ϵ_i ) ⃗ ), i=1,2…n • 性质2: ∀(α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ ,∃A s.t. A((ϵ_1 ) ⃗ )=(α_1 ) ⃗…A((ϵ_n ) ⃗ )=(α_n ) ⃗ ○ 构造 A(α ⃗ )=a_1 (α_1 ) ⃗+…a_n (α_n ) ⃗ 即满足条件 ○ 证明满足A((ϵ_i ) ⃗ )=(α_i ) ⃗ § A((ϵ_i ) ⃗ ) § =A(0(ϵ_1 ) ⃗+…+1(ϵ_i ) ⃗+…+0(ϵ_n ) ⃗ ) § =0(α_1 ) ⃗+…+1(α_i ) ⃗+…+0(α_n ) ⃗ § =(α_i ) ⃗ ○ 证明 A 对加法封闭 § A(α ⃗+β ⃗ ) § =A((a_1 (ϵ_1 ) ⃗+…+a_n (ϵ_n ) ⃗ )+(b_1 (ϵ_1 ) ⃗+…+b_n (ϵ_n ) ⃗ )) § =A((a_1+b_1 ) (ϵ_1 ) ⃗+…+(a_n+b_n ) (ϵ_n ) ⃗ ) § =(a_1+b_1 ) (α_1 ) ⃗+…+(a_n+b_n ) (α_n ) ⃗ § =A(α ⃗ )+A(β ⃗ ) ○ 证明 A 对数乘封闭 § A(kα ⃗ ) § =A(ka_1 (ϵ_1 ) ⃗+…+ka_n (ϵ_n ) ⃗ ) § =ka_1 (α_1 ) ⃗+…+ka_n (α_n ) ⃗ § =k(a_1 (α_1 ) ⃗+…+a_n (α_n ) ⃗ ) § =kA(α ⃗ ) ○ 证毕 • 定理1 ○ 线性空间 V 内取定一组基 (ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ ○ 任取 n 个向量 (α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ ○ 存在唯一的 A,使得 A((ϵ_i ) ⃗ )=(α_i ) ⃗ (i=1,2…n) • 线性变换的矩阵 ○ 线性空间 V 内有一组基 (ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ ○ 将线性变换 A 作用在每一个基上,得到 § A((ϵ_1 ) ⃗ )=(α_1 ) ⃗=a_11 (ϵ_1 ) ⃗+a_21 (ϵ_2 ) ⃗+…a_n1 (ϵ_n ) ⃗ § A((ϵ_2 ) ⃗ )=(α_2 ) ⃗=a_12 (ϵ_1 ) ⃗+a_22 (ϵ_2 ) ⃗+…a_n2 (ϵ_n ) ⃗ § ⋮ § A((ϵ_n ) ⃗ )=(α_n ) ⃗=a_1n (ϵ_1 ) ⃗+a_2n (ϵ_2 ) ⃗+…a_nn (ϵ_n ) ⃗ ○ 即 (A((ϵ_1 ) ⃗ ),A((ϵ_2 ) ⃗ )…A((ϵ_n ) ⃗ ))=((ϵ_1 ) ⃗,(ϵ_2 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ )A ○ 其中 A=(■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_n1&a_n2&…&a_nn )) 被称为 A 的矩阵 ○ 上式又可以写作 ○ A((ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ )=(A(ϵ_1 ) ⃗,…,A(ϵ_n ) ⃗)=((ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ )A • 定理2 ○ 内容 § 线性空间 V 内取定一组基 (ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ § 任意线性变换 A 都与其矩阵 A 一一对应 § 并且保持加法、数乘、乘法和逆 ○ 证明线性变换保持乘法 § AB((ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ ) § =A(B((ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ )) § =A(((ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ )B § =(A(ϵ_1 ) ⃗…A(ϵ_n ) ⃗ )B § =(((ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ )A)B § =((ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ )(AB • 线性变换与矩阵之间的关系 ○ 线性空间 V 内有一组基 (ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ ○ 线性变换 A 对应的矩阵为 A ○ 向量 α ⃗ 的坐标为 (x_1…x_n ) ○ 经过线性变换后 A(α ⃗) 的坐标为 (y_1…y_n ) ○ 将 α ⃗ 用基底表示为 § α ⃗=((ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ )(■8(x_1@⋮@x_n )) ○ 故 A(α ⃗ ) 可以表示为 § A(α ⃗ )=A(((ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ )(■8(x_1@⋮@x_n ))) § =(A(ϵ_1 ) ⃗,…,A(ϵ_n ) ⃗ )(■8(x_1@⋮@x_n )) § =(((ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ )A)(■8(x_1@⋮@x_n )) § =((ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ )(A(■8(x_1@⋮@x_n ))) ○ 又因为 A(α ⃗ ) 用基底表示为 § A(α ⃗ )=((ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ )(■8(y_1@⋮@y_n )) ○ 故 (■8(y_1@⋮@y_n ))=A(■8(x_1@⋮@x_n )) • 定理3:线性变换在两组基下的矩阵相似,反之亦然 ○ 线性空间 V 内有两组基 (ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ 和 (η_1 ) ⃗…(η_2 ) ⃗ 满足 § ((η_1 ) ⃗,…,(η_2 ) ⃗ )=((ϵ_1 ) ⃗,…,(ϵ_n ) ⃗ )C ① § 其中 C 为过渡矩阵 ○ 线性变换 A 在 (ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ 下对应的矩阵为 A § 即 A((ϵ_1 ) ⃗,…,(ϵ_n ) ⃗ )=((ϵ_1 ) ⃗,…,(ϵ_n ) ⃗ )A ② ○ 线性变换 A 在 (η_1 ) ⃗…(η_2 ) ⃗ 下对应的矩阵为 B § 即 A((η_1 ) ⃗,…,(η_2 ) ⃗ )=((η_1 ) ⃗,…,(η_2 ) ⃗ )B ③ ○ 将 ① 代入 ③ 得 § A((η_1 ) ⃗,…,(η_2 ) ⃗ )=((η_1 ) ⃗,…,(η_2 ) ⃗ )B=((ϵ_1 ) ⃗,…,(ϵ_n ) ⃗ )CB ○ 将 ② 代入 ③ 得 § A((η_1 ) ⃗,…,(η_2 ) ⃗ )=A((ϵ_1 ) ⃗,…,(ϵ_n ) ⃗ )C=((ϵ_1 ) ⃗,…,(ϵ_n ) ⃗ )AB ○ 故 CB=AB⇒B=C^(−1) AC ○ 即得证
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第28讲 线性代数的应用举例

  • Jul 14, 2017
  • Shawn
  • Linear Algebra
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28.1 不相容方程组的最小二乘解 • 不相容线性方程组 ○ 一般的线性方程组 Ax ⃗=b ⃗ 无解 • 最小二乘解 ○ 使得 Ax ⃗−b 最小的 x ⃗^∗ ○ 即求 min⁡|Ax ⃗−b| ○ 其中 Ax ⃗−b 称为残差向量 • R3 中的例子 • 更高维下的例子 ○ Ax ⃗=((α_1 ) ⃗,…,(α_s ) ⃗ )(■8(x_1@⋮@x_s ))=x_1 (α_1 ) ⃗+…+x_s (α_s ) ⃗∈L((α_1 ) ⃗,…,(α_s ) ⃗ ) ○ 是否当 (Ax ⃗−b)⊥(α_i ) ⃗ (i=1,2…s) 时,|Ax ⃗−b| 最小? ○ 将取最小值时的 Ax ⃗^∗=((α_1 ) ⃗,…,(α_s ) ⃗ )(■8(x_1^∗@⋮@x_s^∗ )) 记为 α ⃗,显然有 α ⃗∈W ○ 即 (α ⃗−b ⃗ )⊥(α_i ) ⃗ (i=1,2…s) ○ 要证:|α ⃗−b ⃗ |≤|β ⃗−b ⃗ |,其中 β ⃗ 为 W 内的其他向量 ○ |β ⃗−b ⃗ |^2=|β ⃗−α ⃗+α ⃗−b ⃗ |^2 ○ =(β ⃗−α ⃗ )^2+(α ⃗−b ⃗ )^2+2(β ⃗−α ⃗ )⋅(α ⃗−b ⃗ ) ○ 当 (α ⃗−b ⃗ )⊥(α_i ) ⃗ (i=1,2…s) 时,(β ⃗−α ⃗ )⋅(α ⃗−b ⃗ )=0 最小 ○ 即 |β ⃗−b ⃗ |^2=(β ⃗−α ⃗ )^2+(α ⃗−b ⃗ )^2 取得最小值 • 解法 ○ 令 α ⃗=Ax ⃗^∗=((α_1 ) ⃗,…,(α_s ) ⃗ )(■8(x_1^∗@⋮@x_s^∗ ))=x_1^∗ (α_1 ) ⃗+…+x_s^∗ (α_s ) ⃗ ○ min⁡|Ax ⃗−b| ○ ⇒(α ⃗−b ⃗ )⊥(α_i ) ⃗ (i=1,2…s) ○ ⇒{█((Ax ⃗^∗−b ⃗ )⋅(α_1 ) ⃗=0@(Ax ⃗^∗−b ⃗ )⋅(α_2 ) ⃗=0@⋮@(Ax ⃗^∗−b ⃗ )⋅(α_s ) ⃗=0)┤ ○ ⇒{█((α_1 ) ⃗^T (Ax ⃗^∗−b ⃗ )=0@(α_2 ) ⃗^T (Ax ⃗^∗−b ⃗ )=0@⋮@(α_s ) ⃗^T (Ax ⃗^∗−b ⃗ )=0)┤ ○ ⇒A^T (Ax ⃗^∗−b ⃗ )=0 ○ ⇒A^T Ax ⃗=A^T b ⃗ ○ 注:上式被称为原方程的正规方程 • 例:求不相容线性方程组 {█(x_1+4x_2=−2@x_1+2x_2=6@2x_1+3x_2=1)┤ 的最小二乘解 ○ A=(■8(1&4@1&2@2&3)), b ⃗=(■8(−2@6@1)) ○ 由正规方程 A^T Ax ⃗=A^T b ⃗ ○ 解得 x ⃗=(■8(3@−1)) 28.2 多项式插值 • 引例 ○ 已知点 (x_0,y_0 )…(x_n,y_n ) ○ 求插值多项式 y=f(x)=a_0+a_1 x+…+a_n x^n ○ 将所有点代入得 ○ {█(a_0+a_1 x_0+…+a_n x_0^n=y_1@⋮@a_0+a_1 x_n+…+a_n x_n^n=y_n )┤ ○ A=(■8(1&x_0&x_0^2&…&x_1^n@1&x_1&x_1^2&…&x_2^n@1&x_2&x_2^2&…&x_3^n@⋮&⋮&⋮&⋮&⋮@1&x_n&x_n^2&…&x_n^n )) 为范德蒙矩阵非奇异 ○ 故一定有解 • 例子:求过 (1,2),(2,3),(3,6) 的插值多项式 ○ y=a_0+a_1 x+a_2 x^2 ○ (■8(1&1&1@1&2&4@1&3&9))(■8(a_1@a_2@a_3 ))=(■8(2@3@6)) ○ ⇒{█(a_0=3@a_1=−2@a_2=1)┤ ○ ⇒y=3−2x+x^2 28.3 数值积分 • 思路 ○ 要算 I(f)=∫_a^b▒f(x)dx 的数值积分 ○ 若找到多项式 p(x)~f(x),则 I(f)~I(p) • 法一 ○ 取点 § (x_0,f(x_0 )),(x_1,f(x_1 ))…(x_n,f(x_n )) ○ 插值 § p(x)=a_0+a_1 x+…+a_n x^n § (■8(1&x_0&x_0^2&…&x_1^n@1&x_1&x_1^2&…&x_2^n@1&x_2&x_2^2&…&x_3^n@⋮&⋮&⋮&⋮&⋮@1&x_n&x_n^2&…&x_n^n )) (■8(a_0@a_1@a_2@⋮@a_n ))=(■8(f(x_0)@f(x_1)@f(x_2)@⋮@f(x_n))) ○ 积分 § ∫_a^b▒p(x)dx § =a_0 ∫_a^b▒dx+a_1 ∫_a^b▒xdx+…+a_n ∫_a^b▒〖x^n dx〗 § =(∫_a^b▒dx,∫_a^b▒xdx…∫_a^b▒〖x^n dx〗)(■8(a_0@a_1@a_2@⋮@a_n )) § =(∫_a^b▒dx,∫_a^b▒xdx…∫_a^b▒〖x^n dx〗) (■8(1&x_0&x_0^2&…&x_1^n@1&x_1&x_1^2&…&x_2^n@1&x_2&x_2^2&…&x_3^n@⋮&⋮&⋮&⋮&⋮@1&x_n&x_n^2&…&x_n^n ))^(−1) (■8(f(x_0)@f(x_1)@f(x_2)@⋮@f(x_n))) • 法二 ○ 在 f 上取点 (x_0,f(x_0 )),(x_1,f(x_1 ))…(x_n,f(x_n )) ○ 插值函数 p(x)=a_0+a_1 x+…+a_n x^n ○ (■8(1&x_0&x_0^2&…&x_1^n@1&x_1&x_1^2&…&x_2^n@1&x_2&x_2^2&…&x_3^n@⋮&⋮&⋮&⋮&⋮@1&x_n&x_n^2&…&x_n^n )) (■8(a_0@a_1@a_2@⋮@a_n ))=(■8(f(x_0)@f(x_1)@f(x_2)@⋮@f(x_n))) ○ 若能找到 (A_0,…,A_n ) 使得 ○ (A_0,…,A_n )(■8(1&x_0&x_0^2&…&x_1^n@1&x_1&x_1^2&…&x_2^n@1&x_2&x_2^2&…&x_3^n@⋮&⋮&⋮&⋮&⋮@1&x_n&x_n^2&…&x_n^n ))=(∫_a^b▒dx,∫_a^b▒xdx…∫_a^b▒〖x^n dx〗) ○ 则 ∫_a^b▒p(x)dx=(∫_a^b▒dx,∫_a^b▒xdx…∫_a^b▒〖x^n dx〗)(■8(a_0@a_1@a_2@⋮@a_n )) ○ =(A_0,…,A_n )(■8(1&x_0&x_0^2&…&x_1^n@1&x_1&x_1^2&…&x_2^n@1&x_2&x_2^2&…&x_3^n@⋮&⋮&⋮&⋮&⋮@1&x_n&x_n^2&…&x_n^n ))(■8(a_0@a_1@a_2@⋮@a_n ))=(A_0,…,A_n )(■8(f(x_0)@f(x_1)@f(x_2)@⋮@f(x_n))) • 例子:取三个点 ○ 得到 f(a),f((a+b)/2),f(b) ○ V_3=(■8(1&1&1@a&(a+b)/2&b@a^2&((a+b)/2)^2&b^2 )), b ⃗=(■8(∫_a^b▒dx@∫_a^b▒xdx@∫_a^b▒〖x^2 dx〗))=(■8(b−a@(b^2−a^2)/2@(b^3−a^3)/3)) ○ V_3 (■8(A_0@A_1@A_2 ))=b ⃗ ○ (■8(1&1&1&b−a@a&(a+b)/2&b&(b^2−a^2)/2@a^2&((a+b)/2)^2&b^2&(b^3−a^3)/3))→(■8(1&1&1&b−a@0&1&2&b−a@0&0&1&(b−a)/6)) ○ ⇒A_0=A_2=(b−a)/6, A_1=2/3 (b−a) ○ ∫_a^b▒f(x)dx~∫_a^b▒p(x)dx=(b−a)/6 [f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)] ○ 上式被称为 Simpson 公式 • 注:取两个点可得梯形公式 ○ (b−a)/2[f(a)+f(b)]
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第27讲 欧几里得空间

  • Jul 14, 2017
  • Shawn
  • Linear Algebra
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27.1 广义内积 • Rn 中的内积、长度和角度 ○ α ⃗⋅β ⃗=a_1 b_1+…a_n b_n ○ ‖■8(α ⃗ )‖=√(α ⃗⋅α ⃗ ) ○ ∠(α ⃗,β ⃗ )=arccos⁡〖(α ⃗⋅β ⃗)/‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ 〗 • 广义内积 ○ V 是 R 上的线性空间 ○ 二元实函数 (α ⃗,β ⃗) 被称为内积,若满足 ○ 对称性 § (α ⃗,β ⃗ )=(β ⃗,α ⃗) ○ 双线性 § (kα ⃗,β ⃗ )=k(α ⃗,β ⃗ ) § (α ⃗+β ⃗,γ ⃗ )=(α ⃗,γ ⃗ )+(β ⃗,γ ⃗ ) ○ 非负性(正定性) § (α ⃗,α ⃗ )≥0 § (α ⃗,α ⃗ )=0⇔α ⃗=0 ⃗ ○ 此时称 V 为欧氏空间或内积空间 ○ 记作 E^n (Euclidean) • n×n 方阵 R(n×n) 中的内积 ○ (A,B)=tr(〖AB〗^T ) ○ 证明对称性 § (A,B)=tr(〖AB〗^T )=tr((〖AB〗^T )^T )=tr(〖BA〗^T )=(B,A) ○ 证明双线性 § (kA,B)=tr(〖kAB〗^T )=k⋅tr(〖AB〗^T )=k(A,B) § (A+B,C)=tr((A+B) C^T )=tr(AC^T+BC^T ) § =tr(AC^T )+tr(BC^T )=(A,C)+(B,C) ○ 证明非负性 § (A,A)=tr(〖AA〗^T )=a_11^2+a_12^2+…+a_nn^2≥0 § (A,A)=0⇔A=0 • [a,b]上所有实连续函数 C[a,b] 的内积 ○ (f,g)=∫_a^b▒f(x)g(x)dx ○ 证明略 • 由广义内积自然诱导的长度(范数) ○ |α ⃗ |=√((α ⃗,α ⃗)) ○ 正定性 § |α ⃗ |≥0 § |α ⃗ |=0⇔α ⃗=0 ⃗ ○ 绝对齐次 § |kα ⃗ |=|k||α ⃗ | ○ 三角不等式 § |α ⃗+β ⃗ |≤|α ⃗ |+|β ⃗ | § 证明见柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式 § {█((α ⃗+β ⃗,α ⃗+β ⃗ )≤(α ⃗,α ⃗ )+(β ⃗,β ⃗ )+2|α ⃗ ||β ⃗ |@(α ⃗+β ⃗,α ⃗+β ⃗ )=(α ⃗,α ⃗ )+2(α ⃗,β ⃗ )+(β ⃗,β ⃗))┤ § ⇒(α ⃗,β ⃗ )≤|α ⃗ ||β ⃗ | ○ 将三角不等式应用于 Rn § (α ⃗,β ⃗ )=a_1 b_1…a_n b_n § ⇒|a_1 b_1…a_n b_n |≤√(∑_(i=1)^n▒a_i^2 ) √(∑_(i=1)^n▒b_i^2 ) ○ 将三角不等式应用于 c[a,b] § (f,g)=∫_a^b▒f(x)g(x)dx § ⇒|∫_a^b▒f(x)g(x)dx|≤√(∫_a^b▒〖f(x)^2 dx〗) √(∫_a^b▒〖g(x)^2 dx〗) • 由广义内积自然诱导的距离 ○ d=|α ⃗−β ⃗ | • 由广义内积自然诱导的角度 ○ θ=arccos⁡〖((α ⃗,β ⃗ ))/|α ⃗ ||β ⃗ | 〗, 0<θ<π ○ 正交(垂直) § α ⃗⊥β ⃗⇔(α ⃗,β ⃗ )=0⇔θ=π/2 ○ 零向量 § 零向量垂直任何向量 § 只有零向量和自身垂直 ○ 勾股定理 (Pythagorean theorem) § α ⃗⊥β ⃗⇔|α ⃗+β ⃗ |^2=|α ⃗ |^2+|β ⃗ |^2 § |α ⃗+β ⃗ |^2=(α ⃗+β ⃗,α ⃗+β ⃗ ) § =(α ⃗,α ⃗ )+2(α ⃗,β ⃗ )+(β ⃗,β ⃗ ) § =(α ⃗,α ⃗ )+(β ⃗,β ⃗ ) § =|α ⃗ |^2+|β ⃗ |^2 ○ 广义勾股定理 § (α_1 ) ⃗,(α_2 ) ⃗,…,(α_n ) ⃗ 两两正交,则 § |(α_1 ) ⃗+…+(α_n ) ⃗ |=|(α_1 ) ⃗ |^2+…+|(α_n ) ⃗| 27.2 标准正交基 • 度量矩阵 ○ 欧几里得空间 E^n 中有一组基 (ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ ○ α ⃗=x_1 (ϵ_1 ) ⃗+…+x_n (ϵ_n ) ⃗ ○ β ⃗=y_1 (ϵ_1 ) ⃗+…+y_n (ϵ_n ) ⃗ ○ (α ⃗,β ⃗ )=∑_(i=1)^n▒∑_(j=1)^n▒〖x_i y_j ((ϵ_i ) ⃗,(ϵ_j ) ⃗)〗 ○ =(x_1,…,x_n)(■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_n1&a_n2&…&a_nn ))(■8(y_1@⋮@y_n )) ○ 其中 a_ij=((ϵ_i ) ⃗,(ϵ_j ) ⃗ ) ○ A=(a_ij )_(n×n) 叫做内积的度量矩阵 • 标准正交基 ○ ((ϵ_i ) ⃗,(ϵ_j ) ⃗ )={█(1, i=j@0, i≠j)┤⇔A_(n×n)=I_n ○ 此时 (α ⃗,β ⃗ )=(x_1,…,x_n )I(■8(y_1@⋮@y_n ))=x_1 y_1+…+x_n y_n • 定理:两个标准正交基之间的过渡矩阵为正交矩阵,反之亦然 ○ 欧氏空间 E^n 内的两组标准正交基 (ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ 和 (η_1 ) ⃗…(η_2 ) ⃗ ○ 且满足 ((η_1 ) ⃗,…,(η_2 ) ⃗ )=((ϵ_1 ) ⃗,…,(ϵ_n ) ⃗ )C ○ 要证:C^T C=I ○ ((η_1 ) ⃗,…,(η_2 ) ⃗ )=((ϵ_1 ) ⃗,…,(ϵ_n ) ⃗ )(■8(c_11&c_12&…&c_1n@c_21&c_22&…&c_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@c_n1&c_n2&…&c_nn )) ○ 又因为 ((η_i ) ⃗,(η_j ) ⃗ )={█(1, i=j@0, i≠j)┤ ○ 故 c_1i c_1j+c_2i c_2j+…+c_1n c_1n={█(1, i=j@0, i≠j)┤ ○ 即 C 是正交矩阵 27.3 正交变换 • 定义 ○ 欧氏空间 E^n 中,保持内积不变的线性变换称为正交变换 ○ ∀α ⃗,β ⃗∈E^n, (Aα ⃗,Aβ ⃗ )=(α ⃗,β ⃗ ) ○ 几何中定义为保持距离不变的变换 • 例子:旋转 ○ R2 中的两个向量 (α_1 ) ⃗=(■8(x_1@y_1 )), (α_2 ) ⃗=(■8(x_2@y_2 )) ○ 经过旋转 θ 后得到 (β_1 ) ⃗=(■8(x_1′@y_1′)),(β_2 ) ⃗=(■8(x_2′@y_2′)) ○ ((α_1 ) ⃗,(α_2 ) ⃗ )=(α_1 ) ⃗^T (α_2 ) ⃗=x_1 x_2+y_1 y_2 ○ 令 A=(■8(cosθ&−sinθ@sinθ&cosθ)),则有 A^T A=I ○ ((β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗ )=(β_1 ) ⃗^T (β_2 ) ⃗=(A(α_1 ) ⃗ )^T (A(α_2 ) ⃗ )=(α_1 ) ⃗^T A^T A(α_2 ) ⃗=(α_1 ) ⃗^T (α_2 ) ⃗ ○ 故 ((α_1 ) ⃗,(α_2 ) ⃗ )=((β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗ ) • 定理 ○ A 是欧氏空间 E^n 中的线性变换,以下命题等价 1. A 是正交变换 (Aα ⃗,Aβ ⃗ )=(α ⃗,β ⃗ ) 2. A 保持长度不变 |Aα ⃗ |=|α ⃗ | 3. (ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ 是标准正交基 ⇒A(ϵ_1 ) ⃗…A(ϵ_n ) ⃗ 也是标准正交基 4. A 在任意标准正交基下的矩阵都是正交矩阵 ○ 证明 1⇒2 § (Aα ⃗,Aα ⃗ )=(α ⃗,α ⃗ ) § ⇒|Aα ⃗ |^2=|α ⃗ |^2 § ⇒|Aα ⃗ |=|α ⃗ | ○ 证明 2⇒1 § (Aα ⃗,Aα ⃗ )=(α ⃗,α ⃗ ) § (Aβ ⃗,Aβ ⃗ )=(β ⃗,β ⃗ ) § (A(α ⃗+β ⃗),A(α ⃗+β ⃗))=(α ⃗+β ⃗,α ⃗+β ⃗ ) § 对于上式 {█(左=(Aα ⃗,Aα ⃗ )+(Aβ ⃗,Aβ ⃗ )+2(Aα ⃗,Aβ ⃗ )@右=2(α ⃗,β ⃗ )+(α ⃗,α ⃗ )+(β ⃗,β ⃗ ) )┤ § 故 (Aα ⃗,Aβ ⃗ )=(α ⃗,β ⃗ ) ○ 证明 1⇒3 § (A(ϵ_i ) ⃗,A(ϵ_j ) ⃗ )=((ϵ_i ) ⃗,(ϵ_j ) ⃗ )={█(1, i=j@0, i≠j)┤ ○ 证明 3⇒1 § {█(α ⃗=x_1 (ϵ_1 ) ⃗+…+x_n (ϵ_n ) ⃗@β ⃗=y_1 (ϵ_1 ) ⃗+…+y_n (ϵ_n ) ⃗ )┤⇒(α ⃗,β ⃗ )=∑_(i=1)^n▒∑_(j=1)^n▒〖x_i y_j 〗 § {█(Aα ⃗=x_1 A(ϵ_1 ) ⃗+…+x_n A(ϵ_n ) ⃗@Aβ ⃗=y_1 A(ϵ_1 ) ⃗+…+y_n A(ϵ_n ) ⃗ )┤ § ∵A(ϵ_1 ) ⃗…A(ϵ_n ) ⃗ 是标准正交基 § ∴(Aα ⃗,Aβ ⃗ )=∑_(i=1)^n▒∑_(j=1)^n▒〖x_i y_j 〗 ○ 证明 4⇔3 § A((ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ )=((ϵ_1 ) ⃗…(ϵ_n ) ⃗ )A § 由 27.2 的定理简单可得
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