第21讲 实对称矩阵 Jul 12, 2017 Shawn Linear Algebra No comments yet 第22讲 二次型 Jul 13, 2017 Shawn Linear Algebra No comments yet 第23讲 正定二次型 Jul 13, 2017 Shawn Linear Algebra No comments yet 第24讲 线性空间(一) Jul 13, 2017 Shawn Linear Algebra No comments yet 第25讲 线性空间(二) Jul 13, 2017 Shawn Linear Algebra No comments yet 1 … 81 82 83 84
![24.1 线性空间的定义 • 线性空间最一般的定义 ○ 非空集合 V 和 数域 P (一般为R ○ 可定义加法（对加法封闭） § α, β∈V⇒α+β∈V ○ 可定义数乘（对数乘封闭） § α∈V,k∈P⇒kα∈V ○ 八条性质 1. α+β=β+α 2. (α+β)+γ=α+(β+γ) 3. α+(−α)=0 4. α+0=α 5. (kl)α=k(lα) 6. (k+l)α=kα+lα 7. k(α+β)=kα+kβ 8. 1α=α • 进一步的性质 ○ 消去律：α+β=α+γ⇒β=γ § α+β=α+γ § −α+α+β=−α+α+γ § β=γ ○ 零向量唯一 § 假设由两个零向量 0_1 和 0_2 § 则 0_1+0_2=0_1=0_2 § 故零向量唯一 ○ 负向量唯一 § 假设 α+β=0, α+γ=0 § 法一：消去率 § 法二：β=β+0=β+α+γ=0+γ=γ ○ 0α=0 ⃗ § α+0α=(1+0)α=α+0 ⃗ § 根据消去率有 0α=0 ⃗ ○ k0 ⃗=0 ⃗ § k0 ⃗+kα=k(0 ⃗+α)=kα+0 ⃗ § 根据消去率有 k0 ⃗=0 ⃗ ○ (−1)α=−α § (−1)α+α=(−1+1)α=0α=0 ⃗ § 又因为负向量唯一，故 (−1)α=−α ○ kα=0⇒k=0 or a=0 ⃗ § 若 k≠0，则 k^(−1) (kα)=1α=α=0 24.2 维数、基与坐标 • 维数 (dimension) ○ 若 V 中最多有 n 个线性无关的向量 ○ 则称线性空间 V 的维数为 n ○ 记作 dim(V)=n ○ 注 § dim(Rn )=n § 所有 deg≤n 的多项式 R_n [x] 的维数为 n+1 § 所有多项式 R[x] 不在线性空间的讨论范围 • 基 (basis) ○ n 维线性空间内 n 个线性无关的向量（不唯一） • 坐标 (coordinate) ○ 若 (e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ 为一组基 ○ 则 α ⃗, (e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ 一定线性相关 ○ 即 α ⃗=k_1 (e_1 ) ⃗+…k_n (e_n ) ⃗ ○ 且 k_1…k_n 唯一 ○ 我们将 (k_1…k_n) 称作坐标 • 例子 ○ ℂ 可以看作是 R 上的线性空间 § 基为 1 和 i § α ⃗=1a+bi∈ℂ (a,b∈R) ○ ℂ 可以看作是 ℂ 上的线性空间 § 基为 1 § α ⃗=1α ⃗∈ℂ (α ⃗∈ℂ) ○ Rn 最常用的一组基为 § (e_1 ) ⃗=(1,0,0…0)^T § (e_2 ) ⃗=(0,1,0…0)^T § ⋮ § (e_n ) ⃗=(0,0,0…1)^T ○ R_n [x] 最常用的一组基为 § 1,x, x^2, x^3…x^n 24.3 线性子空间 • 定义 ○ V 是线性空间，W⊂V ○ 若 W 对于加法、数乘也构成线性空间， • 定理 ○ 若 W⊂V 且 W 对加法、数乘封闭，则 W 为子空间 • 平凡子空间 ○ V ○ {0 ⃗ } • 常用子空间的例子 ○ R_n [x] 是 R[x] 的子空间 ○ Ax ⃗=0 的解集 § 记为 N(A) ，又称零空间 (null space) § 基为基础解系 § 维数为 n−r(A) ○ 生成空间 § 由 (α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗ 生成的空间 § {k_1 (α_1 ) ⃗+…+k_s (α_s ) ⃗ ┤| k_1…k_s∈R} § 记为 L((α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗)](https://shawnzhong.com/wp-content/uploads/2017/08/img_598740cd1cb23.png)
![25.1 基变换与坐标变换 • 引入 ○ 假设 n 维线性空间 V 有两组基 § (e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ 和 (e_1 ) ⃗^′…(e_n ) ⃗^′ ○ 两组基之间有以下关系 § (e_1 ) ⃗^′=a_11 (e_1 ) ⃗+a_21 (e_2 ) ⃗+…a_n1 (e_n ) ⃗ § (e_2 ) ⃗^′=a_12 (e_1 ) ⃗+a_22 (e_2 ) ⃗+…a_n2 (e_n ) ⃗ § ⋮ § (e_n ) ⃗^′=a_1n (e_1 ) ⃗+a_2n (e_2 ) ⃗+…a_nn (e_n ) ⃗ ○ 可讲上式形式上记为 ((e_1 ) ⃗^′…(e_n ) ⃗^′ )=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )A ○ 其中 A=(■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_n1&a_n2&…&a_nn )) • 基变换 ○ ((e_1 ) ⃗^′…(e_n ) ⃗^′ )=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )A ○ 可逆矩阵 A=(■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_n1&a_n2&…&a_nn )) ○ A 被称为转移矩阵或过渡矩阵 (transition matrix) • 性质 ○ [((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )A]B=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )(AB) ○ ((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )A+((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )B=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )(A+B) ○ ((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )A+((e_1 ) ⃗^′…(e_n ) ⃗^′ )A=((e_1 ) ⃗+(e_1 ) ⃗^′,…,(e_n ) ⃗+(e_n ) ⃗^′ )A • 坐标变换 ○ 对于 α ⃗∈V，可以分别用两组基来表示 § α ⃗=a_1 (e_1 ) ⃗+…+a_n (e_n ) ⃗=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )(■8(a_1@⋮@a_n )) § α ⃗=b_1 (e_1 ) ⃗′+…+b_n (e_n ) ⃗′=((e_1 ) ⃗′…(e_n ) ⃗′)(■8(b_1@⋮@b_n )) ○ 将 ((e_1 ) ⃗^′…(e_n ) ⃗^′ )=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )A 代入得 § α ⃗=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )A(■8(b_1@⋮@b_n ))=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )(A(■8(b_1@⋮@b_n ))) ○ 因为同一组基下的坐标表示唯一，有 § (■8(a_1@⋮@a_n ))=A(■8(b_1@⋮@b_n ))⇔(■8(b_1@⋮@b_n ))=A^(−1) (■8(a_1@⋮@a_n )) • 例题 ○ 假设 V=Rn 有两组基 § (e_1 ) ⃗=(■8(1@0@⋮@0)),(e_2 ) ⃗=(■8(0@1@⋮@0)),…,(e_n ) ⃗=(■8(0@0@⋮@1)) § (e_1 ) ⃗^′=(■8(1@1@⋮@1)),(e_2 ) ⃗^′=(■8(0@1@⋮@1)),…,(e_n ) ⃗′=(■8(0@0@⋮@1)) ○ 若 α ⃗ 在两组基下的坐标分别为 (x_1…x_n )^T, (y_1…y_n )^T § 则{█(y_1=x_1@y_1+y_2=x_2@⋮@y_1+…y_n=x_n )⇔{█(y_1=x_1@y_2=x_2−x_1@⋮@y_n=x_n−x_(n−1) )┤┤ ○ 两组基之间的关系为 § ((e_1 ) ⃗^′…(e_n ) ⃗^′ )=((e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ )A § 其中转移矩阵 A=(■(1&&&@1&1&&@⋮&⋮&⋱&@1&1&…&1)) ○ 故坐标变换为 § (■8(x_1@⋮@x_n ))=A(■8(y_1@⋮@y_n ))=(■(1&&&@1&1&&@⋮&⋮&⋱&@1&1&…&1))(■8(y_1@⋮@y_n )) § (■8(y_1@⋮@y_n ))=A^(−1) (■8(x_1@⋮@x_n ))=(■(1&&&@−1&1&&@&⋱&⋱&@&&−1&1))(■8(x_1@⋮@x_n )) 25.2 线性空间的同构 • 向量和坐标之间的映射 ○ n 维线性空间 V 有一组基 (e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ ○ 对于任意 α ⃗∈V 都存在 § α ⃗=a_1 (e_1 ) ⃗+…+a_n (e_n ) ⃗∈V § α ⃗ 的坐标为 (a_1,…,a_n )^T∈Rn ○ 即存在映射 § V→┴σ Rn § α ⃗↦┴σ (a_1,…,a_n )^T ○ 即 σ(α ⃗ )=(a_1,…,a_n )^T ○ 故此映射是一一映上的（一一对应） ○ 且此映射还需满足 ○ 对加法封闭 § α ⃗: (a_1,…,a_n )^T § β ⃗:(b_1…b_n )^T § α ⃗+β ⃗=a_1 (e_1 ) ⃗+…+a_n (e_n ) ⃗+b_1 (e_1 ) ⃗+…+b_n (e_n ) ⃗ § =(a_1+b_1 ) (e_1 ) ⃗+…+(a_n+b_n ) (e_n ) ⃗ § σ(α ⃗+β ⃗ )=(a_1+b_1,…,a_n+b_n )^T § =(a_1,…,a_n )^T+(b_1…b_n )^T=σ(α ⃗ )+σ(β ⃗ ) ○ 对数乘封闭 § σ(kα ⃗ )=kσ(α ⃗ ) § 证明略 • 同构 ○ 数域 P 上的两个线性空间 V,V^′ ○ 若存在一个由 V 到 V′ 的一一对应 σ ○ 使得 σ(α ⃗+β ⃗ )=σ(α ⃗ )+σ(β ⃗ ) 且 (kα ⃗ )=kσ(α ⃗ ) ○ 则称 V 与 V′ 同构 (Isomorphic) ○ σ 被称为同构映射 (Isomorphism) • 注：任意一个 n 维线性空间 V 都与 Rn 同构 • 同构的性质 ○ σ(0)=0 § σ(kα ⃗ )=kσ(α ⃗ ) 令 k=0 ○ σ(−α ⃗ )=−σ(α ⃗ ) § σ(kα ⃗ )=kσ(α ⃗ ) 令 k=−1 ○ 保持线性组合 § σ(k_1 (α_1 ) ⃗+…k_s (α_s ) ⃗ )=k_1 σ((α_1 ) ⃗ )+…+k_s σ((α_s ) ⃗ ) ○ 保持线性相关性 § (α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗ 线性相关⇔σ((α_1 ) ⃗ )…σ((α_s ) ⃗ ) 线性相关 § (α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗ 线性无关⇔σ((α_1 ) ⃗ )…σ((α_s ) ⃗ ) 线性无关 ○ V 与 V′ 同构 ⇔dim(V)=dim(V^′ ) § 证明暂略 ○ 同构映射的逆映射还是同构映射 § 同构映射 σ: V→V^′ § 先证逆映射对加法封闭 § 即要证 σ^(−1) (σ(α ⃗ )+σ(β ⃗))=α ⃗+β ⃗ § σ[σ^(−1) (σ\(α ⃗ )+σ(β ⃗))]=σ\(α ⃗)+σ(β ⃗)=σ(α ⃗+β ⃗) § 又因为 σ 一一对应 § 故 σ^(−1) (σ\(α ⃗ )+σ(β ⃗))=α ⃗+β ⃗ § 再证逆映射对数乘封闭 § σ[σ^(−1) (kσ\(α ⃗))]=kσ\(α ⃗)=σ(kα ⃗) § 又因为 σ 一一对应 § 故 σ^(−1) (kσ\(α ⃗))=kα ⃗ ○ 两个同构映射的乘积(复合)还是同构映射 § 同构映射 σ: V→V^′ 和 τ: V^′→〖V^′〗^′ § τ(σ(α ⃗+β ⃗ ))=τ(σ(α ⃗ )+σ(β ⃗ ))=τ(σ(α ⃗ ))+τ(σ(α ⃗ )) § 证明数乘略 • 定理1：同构是一种等价关系 ○ 反身性：V 与 V 同构 § σ(α ⃗ )=α ⃗ ○ 对称性：若 V 与 V′ 同构，则 V′ 与 V 同构 § 同构映射的逆映射还是同构映射 ○ 传递性：若 V 与 V′ 同构，V′ 与 V′′ 同构，则 V 与 V′′ 同构 § 两个同构映射的乘积(复合)还是同构映射 • 定理2：dim(V)=dim(V^′ )⇒ V 与 V′ 同构 ○ n 维线性空间 V 与 Rn 同构 ○ n 维线性空间 V′ 与 Rn 同构 ○ 根据同构的传递性得 V 与 V′ 同构](https://shawnzhong.com/wp-content/uploads/2017/08/img_598740f88f618.png)
