第17讲向量组的秩

$17.1 极大无关组 • 定义 ○ 部分组线性无关，且加上任何一个向量后即线性相关 • 例子 ○ (■8(0@1)),(■8(1@0)),(■8(1@1)) 中的极大无关组为 (■8(0@1)),(■8(1@0)) 和 (■8(1@0)),(■8(1@1)) 和 (■8(0@1)),(■8(1@1)) • 性质 ○ 极大无关组不一定唯一 ○ 向量组线性无关，则其极大无关组为自身 ○ 如果向量组只有 0 ⃗ ，则不存在极大无关组 • 定理1 ○ 内容 § 极大无关组与原向量组等价 ○ 证明 § 显然极大无关组可以被原向量组表示 § 以下证明原向量组可以被极大无关组表示 § 将原向量组记为 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗，极大无关组记为 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_s ) ⃗ § 从原向量组中取出 (α_i ) ⃗ § 若 i≤s，则显然 (α_i ) ⃗ 可以被极大无关组表出 § 若 i s，根据定义，极大无关组加上一个向量后即线性相关 § 即 (α_i ) ⃗=k_1 α ⃗_1+…+k_s α ⃗_s • 定理2 ○ 任意两个极大无关组的向量个数相同 ○ 证明可由第16讲定理5的推论得到 • 向量组的秩 ○ 极大无关组中向量的个数 • 定理3： ○ 内容 § 任何一个线性无关的部分组都可扩充为极大无关组 ○ 极大无关组的一种求法 § 可以先从向量组中取出一个非零向量 § 再依次添加所有线性无关向量 § 既可以通过扩充的方法得到极大无关组 • 定理4 ○ 内容 § 若部分组线性无关，且向量个数=秩，则部分组就是极大无关组 ○ 证明 § 假设部分组不是极大无关组 § 则添加某向量后部分组仍旧线性无关 § 即向量个数大于秩，矛盾 § 故部分组就是极大无关组 • 练习：求 (α_1 ) ⃗=(■8(2@4@2)),(α_2 ) ⃗=(■8(1@1@0)),(α_3 ) ⃗=(■8(2@3@1)),(α_4 ) ⃗=(■8(3@5@2)) 的极大无关组 ○ 构造 A=((α_1 ) ⃗,(α_2 ) ⃗,(α_3 ) ⃗,(α_4 ) ⃗)=(■8(2&1&2&3@4&1&3&5@2&0&1&2)) ○ 由于初等行变换不改变列向量之间的线性关系 ○ A→(■8(2&1&2&3@0&−1&−1&−1@0&0&0&0))→(■8(1&0&1/2&1@0&1&1&1@0&0&0&0))=((β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗,(β_3 ) ⃗,(β_4 ) ⃗) ○ 显然 (β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗ 是极大无关组，且{█((β_3 ) ⃗=1/2 (β_1 ) ⃗+(β_2 ) ⃗@(β_4 ) ⃗=(β_1 ) ⃗+(β_2 ) ⃗ )┤ ○ 故 (α_1 ) ⃗,(α_2 ) ⃗ 是极大无关组，且{█((α_3 ) ⃗=1/2 (α_1 ) ⃗+(α_2 ) ⃗@(α_4 ) ⃗=(α_1 ) ⃗+(α_2 ) ⃗ )┤ 17.2 向量组的秩与矩阵的秩 • 向量组的秩 ○ 极大无关组中向量的个数 • 矩阵的秩 ○ 非零子式的最高阶数 • 列秩（列向量组的秩） ○ A=((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ ) • 行秩（行向量组的秩） ○ A=(■8((β_1 ) ⃗@⋮@(β_n ) ⃗ )) • 定理 ○ 内容 § r(A)=行秩=列秩 ○ 证明列向量组线性无关 § A=(■8(a_11&…&a_1r&…&a_1n@…&…&…&…&…@a_r1&…&a_rr&…&…@…&…&…&…&…@a_m1&…&…&…&a_mn )) § 假设 r(A)=r，即存在 r 阶子式不为零 § 假设 r 阶子式位于左上方，即 |■8(a_11&…&a_1r@…&…&…@a_r1&…&a_rr )|≠0 § ⇒向量组(■8(a_11@⋮@a_r1 )),(■8(a_12@⋮@a_r2 ))…(■8(a_1r@⋮@a_rr )) 线性无关 § 即向量组 (■8(a_11@⋮@a_r1@⋮@a_m1 )),(■8(a_12@⋮@a_r2@⋮@a_m2 ))…(■8(a_1r@⋮@a_rr@⋮@a_mr )) 线性无关 ○ 证明列向量组极大 § 即证明 (■8(a_11@⋮@a_m1 )),(■8(a_12@⋮@a_m2 ))…(■8(a_1r@⋮@a_mr )),(■8(a_(1,r+1)@⋮@a_(m,r+1) )) 线性相关 § 假设线性无关 § 构造 A_r=(■8(a_11&a_12&…&a_(1,r+1)@a_21&a_22&…&a_(2,r+1)@⋮&⋮&⋮&⋮@a_m1&a_m2&…&a_(m,r+1) )) § 由于线性无关，有 r(A_r )=r+1 § 即 A_r 存在 r+1 阶的子式非零 § 因为 A_r 取自 A，所以 A 也存在 r+1 阶的子式非零 § 与 r(A)=r 矛盾 § 即列向量组是极大无关组 ○ 同理可证 r(A)=行秩 17.3 关于秩的重要定理 • 定理1 ○ 内容 § 将 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 记作 (A)，(β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗…(β_t ) ⃗ 记作 (B) § 若 (B) 可以被 (A) 表出，则 r(B)≤r(A) ○ 证明 § (B) 可以被 (A) 表出 § (B) 的极大无关组可以被 (A) 的极大无关组表出 § r(B)≤r(A) ○ 推论 § 将 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 记作 (A)，(β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗…(β_t ) ⃗ 记作 (B) § 若 (A) 与 (B) 等价，则 r(B)=r(A) • 定理2 ○ 内容 § 对于矩阵 A_(m×n), B_(n×p)，有 r(AB)≤min⁡(r(A),r(B)) ○ 证明 § A=((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ ), B=(■8(b_11&…&b_1p@⋮&⋮&⋮@b_n1&…&b_np )) § AB=(b_11 (α_1 ) ⃗+…b_n1 (α_n ) ⃗ … b_1p (α_1 ) ⃗+…b_np (α_n ) ⃗ )=((γ_1 ) ⃗…(γ_p ) ⃗ ) § 即 (γ_i ) ⃗ 可以表示为 (α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ 的线性组合 § (γ_i ) ⃗=k_i1 (α_1 ) ⃗+…+k_in (α_n ) ⃗ § 根据定理1， r(AB)≤r(A) § 同理 r(AB)≤r(B) § 即 r(AB)≤min⁡(r(A),r(B)) • 定理3 ○ 内容 § 假设 A 可逆，则 r(AB)=r(B), r(CA)=r(C) ○ 证明 § 由定理2可得 r(AB)≤r(B) § 又因为 r(B)=r(A^(−1) AB)≤r(AB) § 所以 r(AB)=r(B) § 同理可证 r(CA)=r(C) • 定理4 ○ 内容 § r(A+B)≤r(A)+r(B) ○ 证明 § A=((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ ), B=((β_1 ) ⃗…(β_n ) ⃗ ) § A+B=((α_1 ) ⃗+(β_1 ) ⃗,…,(α_n ) ⃗+(β_n ) ⃗ ) § r(A+B)≤r(A,B)=r((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗,(β_1 ) ⃗…(β_n ) ⃗ ) § 若 (α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ 的极大无关组为 (α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗，(β_1 ) ⃗…(β_n ) ⃗ 的极大无关组为(β_1 ) ⃗…(β_t ) ⃗ § r(A+B)≤r((α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗,(β_1 ) ⃗…(β_t ) ⃗ )≤s+t=r(A)+r(B) • 定理5：西尔维斯特(Sylvester)不等式 ○ 内容 § r(A_(m×n) B_(n×p) )≥r(A)+r(B)−n ○ 证明 § r(A)+r(B)=r(■8(A&0@0&B))≤r(■8(A&0@−I&B)) § =r(■8(A&AB@−I&0))=r(■8(0&AB@−I&0))=r(AB)+r(−I)=r(AB)−n § 即 r(AB)≥r(A)+r(B)−n • 推论 ○ 内容 § A 列满秩 ⇒ r(AB)=r(B) § A 行满秩 ⇒ r(CA)=r(C) ○ 证明 § A 列满秩 ⇒ r(A_(m×n) )=n § r(AB)≤r(B) § r(AB)≥r(A)+r(B)−n=r(B) § ⇒r(AB)=r(B) § 同理可证 A 行满秩 ⇒ r(CA)=r(C)$

Shawn Zhong

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