线性代数 Linear Algebra

第1讲 预备知识


「万门大学」线性代数的学习笔记,欢迎指正。

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Table of Contents

第1讲 预备知识

  1. 什么是线性代数
  2. 多项式基础
  3. 排列与逆序
  4. 连加号

第2讲 行列式

  1. 二阶与三阶行列式
  2. n阶行列式的定义
  3. 用定义计算行列式

第3讲 行列式的性质

  1. 行列式的性质(一)
  2. 行列式的性质(二)
  3. 用行列式的性质进行计算

第4讲 行列式按行(列)展开

  1. 代数余子式
  2. 行列式按一行(列)的展开
  3. 范德蒙行列式
  4. 行列式按多行(列)的展开

第5讲 行列式的计算

  1. 基本篇
  2. 技巧篇I—利用行列式性质
  3. 技巧篇II—利用行列式的展开
  4. 提高篇

第6讲 克莱姆法则

  1. 二元和三元线性方程组
  2. 克莱姆法则
  3. 法则用于计算
  4. 法则的理论意义

第7讲 矩阵

  1. 矩阵的概念
  2. 矩阵的线性运算
  3. 线性空间

第8讲 矩阵乘法

  1. 矩阵乘法的定义
  2. 矩阵乘法的性质(一)
  3. 矩阵乘法的性质(二)
  4. 矩阵乘法的性质(三)
  5. 矩阵的其他运算(一)
  6. 矩阵的其他运算(二)

第9讲 特殊矩阵

  1. 对角矩阵
  2. 三角形矩阵
  3. 对称矩阵

第10讲 矩阵的逆

  1. 逆矩阵的概念
  2. 用伴随矩阵求逆(一)
  3. 用伴随矩阵求逆(二)
  4. 逆矩阵的性质
  5. 伴随矩阵的性质(一)
  6. 伴随矩阵的性质(二)

第11讲 分块矩阵

  1. 矩阵的分块
  2. 分块矩阵的乘法
  3. 分块矩阵的行列式

第12讲 矩阵的初等变换

  1. 初等变换
  2. 初等矩阵
  3. 矩阵等价(一)
  4. 矩阵等价(二)
  5. 关于初等变换的重要定理
  6. 用初等变换求逆

第13讲 矩阵的秩

  1. 秩的概念(一)
  2. 秩的概念(二)
  3. 秩的性质
  4. 化阶梯形求秩(一)
  5. 化阶梯形求秩(二)
  6. 化阶梯形求秩(三)

第14讲 线性方程组

  1. 消元解法(一)
  2. 消元解法(二)
  3. 解的情况(一)
  4. 解的情况(二)
  5. 解的情况(三)

第15讲 向量

  1. 向量及其线性运算(一)
  2. 向量及其线性运算(二)
  3. 向量的点积与叉积(一)
  4. 向量的点积与叉积(二)
  5. 空间中的直线与平面(一)
  6. 空间中的直线与平面(二)

第16讲 向量组

  1. 线性组合与线性表示(一)
  2. 线性组合与线性表示(二)
  3. 线性相关性
  4. 相关性定理(一)
  5. 相关性定理(二)

第17讲 向量组的秩

  1. 极大无关组(一)
  2. 极大无关组(二)
  3. 向量组的秩与矩阵的秩
  4. 关于秩的重要定理(一)
  5. 关于秩的重要定理(二)

第18讲 线性方程组解的结构

  1. 齐次线性方程组解的结构
  2. 基础解系(一)
  3. 基础解系(二)
  4. 非齐次线性方程组解的结构(一)
  5. 非齐次线性方程组解的结构(二)

第19讲 特征值与特征向量

  1. 概念(一)
  2. 概念(二)
  3. 几个例子
  4. 基本性质(一)
  5. 基本性质(二)
  6. 基本性质(三)

第20讲 相似矩阵与矩阵对角化

  1. 矩阵的相似(一)
  2. 矩阵的相似(二)
  3. 可对角化条件(一)
  4. 可对角化条件(二)
  5. 可对角化条件(三)
  6. 约当标准形简介

第21讲 实对称矩阵

  1. 正交向量组
  2. 施密特正交化(一)
  3. 施密特正交化(二)
  4. 正交矩阵
  5. 实对称矩阵(一)
  6. 实对称矩阵(二)

第22讲 二次型

  1. 二次型及其矩阵表示
  2. 合同
  3. 二次型的标准形
  4. 二次型的规范形

第23讲 正定二次型

  1. 二次型的有定性
  2. 正定性的判定
  3. 正定性的应用

第24讲 线性空间(一)

  1. 线性空间的定义
  2. 维数、基与坐标
  3. 线性子空间

第25讲 线性空间(二)

  1. 基变换与坐标变换(一)
  2. 基变换与坐标变换(二)
  3. 线性空间的同构(一)
  4. 线性空间的同构(二)

第26讲 线性变换

  1. 定义与性质
  2. 线性变换的运算(一)
  3. 线性变换的运算(二)
  4. 线性变换的矩阵表示 (一)
  5. 线性变换的矩阵表示 (二)
  6. 线性变换的矩阵表示 (三)

第27讲 欧几里得空间

  1. 广义内积(一)
  2. 广义内积(二)
  3. 标准正交基
  4. 正交变换

第28讲 线性代数的应用举例

  1. 不相容方程组的最小二乘解
  2. 多项式插值
  3. 数值积分
第1讲 预备知识

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