第17讲 群作用 Jan 10, 2018 Shawn Abstract Algebra No comments yet 第18讲 合成列（选修） Jan 10, 2018 Shawn Abstract Algebra No comments yet 第19讲 自由群（选修） Jan 10, 2018 Shawn Abstract Algebra No comments yet 第20讲 稳定子，中心化， 正规化子 Jan 10, 2018 Shawn Abstract Algebra No comments yet 第21讲 类等式定理 Jan 10, 2018 Shawn Abstract Algebra No comments yet 1 … 37 38 39 40 41 … 60
![群作用 • 定义 ○ 让 G 为任意群，S 为任意集合 ○ 定义 G 在 S 上的作用是 ○ 把 G 里的每个元素 g 对应到 S 上的映射 ϕ_g:S→S ○ 并且符合 § 对任意 g,g^′∈G, ϕ_g∘ϕ_g=ϕ_gg′ § 对于 e∈G，ϕ_e=1_S • 定理：任何 ϕ_g 都是双射，并且 ϕ_g 和 ϕ_(g^(−1) ) 互为逆映射 ○ ϕ_g∘ϕ_(g^(−1) )=ϕ_(gg^(−1) )=ϕ_e=1_S ○ ϕ_(g^(−1) )∘ϕ_g=ϕ_(g^(−1) g)=ϕ_e=1_S • 例1 ○ 让 G 为任意群，S 为任意集合 ○ 定义 ϕ_g=1_S ○ 可以证明 ϕ_g 符合群作用的两个条件 ○ 我们把这一作用称作平凡作用 • 例2 ○ [n]={1,2,…,n} ○ 定义 n 次对称群 (S_n={从 [n] 到 [n] 的映射},∘) ○ 定义对于任意 σ∈S_n，ϕ_σ (s)=σ(s) ○ 则这个作用为 [n] 上的置换 • 例3 ○ 让 G 为任意群，把 G 看成集合 ○ 可以把 G 作用在 G 上 ○ 定义左作用为 λ_g (h=gh ○ 定义右作用为 ρ_g (h=hg^(−1) ○ 定义共轭作用为 ϕ_g (h=ghg^(−1) ○ 练习：证明以上作用满足作用的两个条件 ○ 思考：为什么右作用要取 g 的逆 ○ 注：共轭作用即左作用和右作用同时作用在 h 上 • 记号 ○ 我们将 G 作用在 S 上记作 G↷S 我们将元素 s 在 ϕ_g 上的像 ϕ_g (s) 记作 g.s 简单和传递 • 简单 ○ 当 G↷S，我们称它是简单的 ○ 当且仅当 e 是唯一对应恒等映射 1_S 的群元素 • 传递 ○ 当 G↷S，我们称它是传递的 ○ 当且仅当对于任何 s,s^′∈S，有 g∈G 使得 g.s=s^′ • 例1：一般地，平凡作用即不简单，也不传递 • 例2：n 次对称群 S_n 在 [n] 上的作用即简单又传递 ○ 证明当作练习 • 例3：G 在 G 上的左作用和右作用即简单又传递 ○ 以左作用为例 ○ 简单 § 假设 λ_g=1_G § 则 ∀h∈G, λ_g (h=gh=h § 故 g=e § 所以这个作用是简单的 ○ 传递 § 假设 h→h′ § 我们想要找到 λ_g (h=gh=h′ § 则 g=h′ h(−1) § 所以这个作用是传递的 轨道 • 定义 ○ 给定 G↷S ○ 对于 x,y∈S 定义 x~y 当且仅当存在 g∈G 使得 g.x=y ○ 定义 ~ 对应的等价类 [x] 为轨道，记为 O_x • 定理：~ 是一个等价关系 ○ 自反性 § ∀x∈S § 存在 e∈G 使得 e.x=x § ⇒x~x ○ 对称性 § x~y 即 g.x=y § ⇒g^(−1).y=g^(−1).(g.x)=(g^(−1) g).x=e.x=x § 所以 y~x ○ 传递性 § x~y, y~z § 即存在 g 使得 g.x=y，存在 h 使得 h.y=z § 复合这两个作用得到 (h�).x=h.(g.x)=h.y=z § 所以 x~z](https://shawnzhong.com/wp-content/uploads/2018/01/img_5a562b0d81343.png)
![合成列 • 简单群 ○ 一个群被称为简单群当且仅当它没有非平凡的正规真子群 ○ 简单群是构成群的最小单位 • 定义 ○ 对于一个群 G ○ G 的合成列是一系列子群 G_i (i≤i≤n) 且满足以下条件 § {e}=G_0⊲G_1⊲G_2⊲⋯⊲G_n=G § G_i \/G_(i−1) 是一个简单群，称为合成因子 • 例1 ○ G=Z\/15={0,1,2,3,…,14} 是一个阿贝尔群 ○ 构造 N=⟨5⟩={0,5,10}，|N|=3 ○ 构造正规子群 G∕N 则|G/N|=|G|/|N| =15/3=5 ○ 考虑 0⊲N⊲G，且 |N/0|=|N|=3, |G/N|=5 均为质数 ○ 故 N\/0 和 G\/N 均为简单群 ○ 所以 0,N,G 是 G 的合成列 • 例2 ○ 令 G=D_6 即二面体群，对应正三角形的三个旋转对称和翻转对称 ○ 令 C_3={旋转 0°,旋转 120°,旋转 240°} ○ 可以得到 {e}⊲C_3⊲D_6 ○ |C_3 |=3, |D_6/C_3 |=6/3=2 均为质数 ○ 所以 C_3, D_6 \/C_3 都是简单群 ○ 故 {e}, C_3,D_6 是 G 的合成列 • 若尔当-赫尔德定理 ○ 命题 § 如果 G 是一个有限群，那么 § G 的合成列存在 § 如果 G 有以下两个合成列，那么 m=n § {e}=N_0⊲N_1⊲⋯⊲N_n=G § {e}=M_0⊲M_1⊲⋯⊲M_m=G § 且存在双射 σ:[n]→[n], σ∈S_n 使得 M_σ(i) \/M_σ(i−1) ≅N_i \/N_(i−1) § 注：[n]={1,2,3,…,n} ○ 证明：G 的合成列存在 § 让 G 为一个有限群，我们对 |G| 进行数学归纳 § 当 |G|=1 时，平凡群的合成列仍为平凡群，无需任何证明 § 归纳步骤：找 G 里的一个最大正规真子群 N，则 |N||G| § 可以对 N 使用归纳假设 § 由群同构第四定理得到 § {e}=N_0⊲N_1⊲⋯⊲N_n=N⊲G 是 G 的合成列 ○ 证明：两个合成列长度一样，并且有一样的合成因子 § 对 min{m,n} 进行数学归纳 § 当 min{m,n}=1 □ G 是一个简单群，此时 m=n=1 □ 且 G 是唯一的合成因子 § 归纳步骤 □ {e}⊲N_1⊲⋯⊲N_(n−1)⊲G □ {e}⊲M_1⊲⋯⊲M_(m−1)⊲G □ 如果 N_(n−1)=M_(m−1)，命题成立 □ 只需考虑 N_(n−1)≠M_(m−1) □ 则 N_(n−1),M_(m−1)⊴N_(n−1) M_(m−1),M_(m−1) N_(n−1)⊴G □ 由群同构第四定理得到 □ N_(n−1),M_(m−1)⊲N_(n−1) M_(m−1),M_(m−1) N_(n−1)=G □ 由群同构第二定理得到 □ N_(n−1) M_(m−1) \/M_(m−1)≅N_(n−1) \/M_(m−1)∩N_(n−1) □ N_(n−1) M_(m−1) \/N_(n−1)≅M_(m−1) \/M_(m−1)∩N_(n−1) □ 定义 M_(m−1)∩N_(n−1)=L 则 □ G\/M_(m−1)≅N_(n−1) \/L □ G\/N_(n−1)≅M_(m−1) \/L □ 找到 L 的合成列 {e}=L_0⊲L_1⊲⋯⊲L_l=L □ 构造以下两个合成列 □ {e}=L_0⊲L_1⊲⋯⊲L_l⊲N_(n−1)⊲G ① □ {e}=L_0⊲L_1⊲⋯⊲L_l⊲M_(m−1)⊲G ② □ 结合之前的两个合成列 □ {e}⊲N_1⊲⋯⊲N_(n−1)⊲G ③ □ {e}⊲M_1⊲⋯⊲M_(m−1)⊲G ④ □ 对 ① 和 ③ 应用归纳假设 □ 得到 ① 和 ③ 长度一样并且合成因子互换位置 □ 同理 ② 和 ④ 长度一样并且合成因子互换位置 □ 故 ③ 和 ④ 长度一样并且合成因子互换位置 □ 原命题即得证](https://shawnzhong.com/wp-content/uploads/2018/01/img_5a562b532cb44.png)
![稳定子 • 定义 ○ 令 G↷S, A⊆S ○ 定义 A 的稳定子为 G_A={g∈G|g.a=a, ∀a∈A} ○ 如果 A={a} 我们会记 G_{a} =G_a • 练习 • 练习：G_A≤G (G_a≤G) • 定理：如果 G↷S, A⊆S, g∈G，那么 〖gG〗_A g^(−1)=G_(g.A) ○ 对于任意 h∈G_A ○ （gh�^(−1) ）.(gA)=（gh�^(−1) g）.A=(gh.A=g.(hA)=g.A ○ ⇒〖gG〗_A g^(−1)⊆G_(g.A) ○ 另一方面，令 g=g^(−1), A=g.A ○ 则 〖g^(−1) G〗_(g.A) g⊆G_(g^(−1).(g.A) )=G_A ○ 同时取 g 的共轭，得到 ○ G_(g.A)⊆gG_A g^(−1) ○ 结合两个方向上的包含关系，G_(g.A)=gG_A g^(−1) • 定理 ○ 轨道（复习） § 已知 G↷S, s∈S § O_s={g.s|g∈G} ○ 命题 § O_s 与商集 G\/G_s 有着一一对应 § 特别地，如果 O_s 是一个有限集，那么 |O_s |=|G:G_s | ○ 证明 § 构造 f: G\/G_s→O_s, 〖gG〗_s↦g.s § 首先要证明 f 定义良好 □ 假设 〖gG〗_s=〖h〗_s □ ⇒g^(−1) h∈G_s □ (g^(−1) h.s=s □ g^(−1).(hs)=s □ h.s=g.s □ ⇒f 定义良好 § 证明 f 是双射 □ 显然，f 是满射 □ 只需证明 f 是单射 □ 假设 f(gG_s )=f(h_s ) □ g.s=h.s □ ⇒g^(−1).(g.s)=g^(−1).h.s □ ⇒s=g^(−1).h.s □ ⇒g^(−1) h∈G_s □ ⇒〖h〗_s=〖gG〗_s □ 故 f 是单射 □ 所以 f 是双射 中心化子和正规化子 • 中心化子 ○ 考虑 G 在 G 上的共轭作用 g.h=〖gh�〗^(−1) ○ 令 A⊆G ○ 我们称 G_A 为 A 的中心化子 ○ 记为 C_G (A)={g∈G|∀a∈A, gag^(−1)=a} • 注 ○ gag^(−1)=a⟺ga=ag ○ 即中心化子中的每个元素都和 A 里所有元素交换 • 中心 ○ 特别地，我们将 C_G (G) 记作 Z(G)，称为 G 的中心 • 正规化子 ○ 考虑 G 在 2^G 上的共轭作用 g.S=〖gSg〗^(−1) ○ 令 A⊆G, A∈2^G ○ 我们称 G_A 为 A 的正规化子 ○ 记为 N_G (A)={g∈G|gAg^(−1)=A} • 中心化子和正规化子 ○ 总有 C_G (A)⊆N_G (A) ○ 特别地，当 A={a} 时 ○ C_G ({a})⊆N_G ({a}) • 定理 ○ 我们证明过 O_s 和 G\/G_s 存在一一对应关系 ○ 将这一结论应用到 G↷2^G 可以得到 ○ 对任意 A⊆G, A∈2^G ○ O_A={A 的共轭子集} 和 G\/N_G (A) 存在一一对应关系 ○ 特别地，当 N_G (A) 在 G 中的指数有限时 ○ A 的共轭子集的个数=|G:N_G (A)|∞ ○ 特别地，当 A={a} 时 ○ |[a]|=|G:C_G (a)| • 练习 1 ○ 对于 H≤G ○ N_G (H) 是所有把 H 包含为正规子群的 G 的子群里面最大一个 ○ 即如果 N≤G 并且 H⊴N，那么 N≤N_G (H) • 练习 2 ○ 如果 S⊆G，那么 S⊆C_G (C_G (S))](https://shawnzhong.com/wp-content/uploads/2018/01/img_5a562c85271ce.png)
![类等式定理 • 复习 ○ 对于有限群 G，令 a∈G，则 |[a]|=|G:C_G (a)| ○ Z(G)=C_G (G) • 类等式定理 ○ 如果 G 是一个有限群 ○ 从每一个包含元素个数大于 1 的等价类里 ○ 取一个元素 g_i (1≤i≤n) ○ 那么总有 |G|=|Z(G)|+∑_(i=1)^n▒|G:C_G (g_i )| • 证明 ○ G=⋃8_(g∈G)▒[g] ○ 已知 g∈Z(G) 当且仅当 |[g]|=1 ○ 故 |Z(G)| 统计了所有 |[g]|=1 的个数 ○ 又知 |G:C_G (g_i )|=|[g_i ]| ○ 故∑_(i=1)^n▒|G:C_G (g_i )| 统计了所有 |[g]|1 的个数 • 推论 ○ 命题 § 如果 |G|=p^m，其中 p 是质数，m≥1 § 那么 |Z(G)|1 即 G 的中心不是平凡子群 ○ 证明 § 由用类等式定理 |G|=|Z(G)|+∑_(i=1)^n▒|G:C_G (g_i )| § 观察得到 |G|=p^m 能被 p 整除 § 因为 g_i 不在 G 的中心里，可以证明 G § 事实上若 C_G (g_i )=G 则 g_i∈Z(G) § 根据拉格朗日定理，|G:C_G (g_i )| 能被 p 整除 § 等式 |G|=|Z(G)|+∑_(i=1)^n▒|G:C_G (g_i )| 中 § |G|, ∑_(i=1)^n▒|G:C_G (g_i )| 均能被 p 整除 § 所以 |Z(G)| 也必须能被 p 整除 § 故 |Z(G)|1](https://shawnzhong.com/wp-content/uploads/2018/01/img_5a562d1e1e36c.png)
