Mathematics Archives - Page 55 of 60 - Shawn Zhong

$Linear Space / Vector Space • A set of vectors • A set of numbers • Addition of vectors • Multiply vectors with numbers Zero Vector • There is a vector O such that for all vector x ○ x+O=x • Theorem ○ If O_1 and O_2 are both zero vectors, then O_1=O_2 • Proof ○ {█(O_1+O_2=O_1@O_2+O_1=O_2 )┤⇒O_1=O_2 Existence of Negative Vector • For every vector x, there is a vector y such that • x+y=0 • denoted as −x Multiplication with Numbers (Scalers) • x,y:vectors, s,t:numbers (Number field:Q,R,ℂ) • s(x+y)=sx+sy • (s+t)x=sx+tx • s(tx)=(st)x • 0⋅x=0 • 1⋅x=x Example of a Common Vector Spaces • R3={(x_1,x_2,x_3 )│x_1∈Rx_2∈Rx_3∈R is a vector space • Addition and multiplication defined as ○ (x_1,x_2,x_3 )+(y_1,y_2,y_3 )≝(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3 ) ○ t(x_1,x_2,x_3 )≝(tx_1,tx_2,tx_3 ) Example of a Strange Vector Spaces • Number:R • Vector:R+=(0,∞) • Addition ○ x⨁y=x×y ○ e.g. √2⨁√2=√2×√2=2 ○ Zero vector: 1 • Inverse of Addition ○ Given x, find y ○ x⨁y=1 ○ ⇒y=1/x • Multiplication with numbers ○ t∈R, x∈R_+ ○ t⨀x≝x^t • Proof: Distributive law ○ t⨀(s⨀x)=(x^s )^t=x^st=(ts)⨀x$

第1讲预备知识

1.1 什么是线性代数 • 线性(Linear)+代数(Algrbra) • 线性代数是有限维线性空间及其线性变换的基本理论 ○ 行列式 ○ 矩阵 ○ 线性方程组 ○ 二次型 • 线性代数的地位 ○ 大学数学最重要的两门课程之一 ○ 理论自洽相容而且对大多数学生来说都易于接受 ○ 是数学抽象和逻辑推理训练的好素材 ○ 理论和算法发展最成熟、应用最广泛的数学分支之一 • 线性代数的应用 ○ 解析几何 § 空间点、线、面 § 单叶双曲面 ○ 计算机科学 ○ 社会科学 § 人口迁徙模型 § 投入产出模型 • 线性代数的特点 ○ 内容抽象，但逻辑性强 ○ 标号繁多，但规律性强 ○ 公式庞杂，但形式优美 1.2 多项式 • 定义 ○ f(x)=a_n x^n+a_(n−1) x^(n−1)+…+a_1 x+a_0 (a_i∈R or ℂ 且 a_n≠0) • 多项式的次数 ○ deg⁡(f(x))=n • 带余除法：f(x)除以g(x) ○ f(x)=q(x)g(x)+r(x) ○ q(x)：商 ○ r(x)：余数 ○ 需满足：deg⁡(r(x))<deg⁡(g(x)) • 代数基本定理 ○ 已知 § deg≥1 的多项式在 ℂ 中有一个根 ○ 求证 § deg=n 的多项式在 ℂ 中有 n 个根 ○ 证明 § f(x)=q_1 (x)(x−x_1)+r_1 (x) § 令x=x_1， § 则左=f(x_1 )=0，右=r_1 § ∴r_1=0, f(x)=q_1 (x)(x−x_1 ) § 重复以上步骤，可得 f(x)=a_n (x−x_1 )×…×(x−x_n ) • 根与系数的关系 ○ f(x)=a_n x^n+a_(n−1) x^(n−1)+…+a_1 x+a_0=a_n (x−x_1 )×…×(x−x_n ) ○ n−1 次项系数 § a_(n−1)=a_n (−x_1−〖x_2〗_.−…−x_n ) § ⇒x_1+x_2+…+x_n=−a_(n−1)/a_n ○ 常数项 § a_0=a_n (−1)^n x_1 x_2…x_n § ⇒x_1 x_2…x_n=(−1)^n×a_0/a_n 1.3 排列与逆序 • 排列 ○ 由 1, 2, …n 组成的一个有序数组 i_1,i_2,…i_n 被称为 n 级排列 ○ 所有不同的n级排列共有 n! 个 • 对换 ○ 2413→┴((4,1)) 2143 • 逆序 (inversion) ○ 较大的数 i_t 排在 i_s 之前 • 逆序数 (Number of inversion) ○ N(i_1, i_2…i_n ) ○ N(4,5,2,3,1)=3+3+1+1=8 ○ N(2,4,1,3)=1+2+0=3 • 奇偶排列 ○ 逆序数为奇数的排列称为奇排列 ○ 逆序数为偶数的排列称为偶排列 • 练习：所有的3级排列排列 123 132 213 231 312 321 N 0 1 1 2 2 3 奇偶偶奇奇偶偶奇 • 定理1.1：对换改变排列的奇偶性 ○ 若相邻：i_1…i_s i_(s+1) i_n→i_1…i_(s+1) i_s i_n § i_s>i_(s+1)⇒N−1 § i_s<i_(s+1)⇒N+1 ○ 若不相邻：i_1…i_s…i_t…i_n→i_1…i_t…i_s…i_n § N=N(i_s 向后移)+N(i_t 向前移) § =(t−s)+(t−s−1) § =2(t−s)−1 • 定理1.2：任意级排列中，奇偶排列各占半（n>1） ○ 对于 i_1,i_2,…i_n，存在一一对应关系：奇→┴(1,2) 偶 • 定理1.3：i_1,i_2,…i_n 与 1, 2, 3…n 可通过一系列对换互变，奇偶性与对换个数一致 ○ i_1,i_2,…i_n →┴对换若干次 1, 2, 3…n ○ 奇排列→┴对换奇数次偶排列 ○ 偶排列→┴对换偶数次偶排列 1.4 连加号 • ∑_(i=1)^n▒a_i =a_1+a_2+…+a_n ○ i：求和指标 ○ ∑：求和号 ○ a_i：通项 • 双重求和可以交换 ○ ∑_(j=1)^n▒a_ij =a_i1+a_i2+…+a_in ○ ∑_(i=1)^n▒∑_(j=1)^n▒a_ij =(a_11+a_12+…+a_1n )+(a_21+a_22+…+a_2n)+…+(a_n1+a_n2+…+a_nn )=∑_(j=1)^n▒∑_(i=1)^n▒a_ij

第2讲行列式

$2.1 二阶与三阶行列式 • 定义 ○ |■8(a_11&a_12@a_21&a_22 )|=a_11 a_22−a_12 a_21 ○ |■8(a_11&a_12&a_13@a_21&a_22&a_23@a_31&a_32&a_33 )|=a_11 a_22 a_33+a_13 a_21 a_32+a_12 a_23 a_31−a_13 a_22 a_31−a_12 a_21 a_33−a_11 a_23 a_32 • 例1：求 |■8(1&−2@3&4)| ○ |■8(1&−2@3&4)|=1×4−(−2)×3=10 • 例2：|■8(λ^2&λ@3&1)|=0，求 λ ○ |■8(λ^2&λ@3&1)|=λ^2−3λ=0 ○ ⇒λ=0 or 3 • 例3：求 |■8(1&2&3@4&0&5@−1&0&6)| ○ |■8(1&2&3@4&0&5@−1&0&6)|=0+0−10−0−48−0=−58 • 例4：|■8(a&b&0@−b&a&0@−1&0&1)|=0，求a,b ○ |■8(a&b&0@−b&a&0@−1&0&1)|=a^2+b^2=0 ○ ⇒a=0, b=0 2.2 n阶行列式 • 定义（按行） ○ |■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|=∑_(j_1…j_n)▒〖(−1)^(N(j_1…j_n)) a_(1j_1 ) a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗 • 满足性质 ○ 共有 n! 项 ○ 所有不同行列的排列 ○ 符号看列标的奇偶排列 • 例1：四阶行列式中 a_14 a_23 a_32 a_41 的符号 ○ N(4321)=3+2+1=6⇒正号 • 例2：四阶行列式中 a_11 a_22 a_34 a_43 的符号 ○ N(1243)=1⇒负号 • 注 ○ 行列式是数，一般用符号 D (determinant) 表示 ○ 一阶行列式 |a_11 |=a_11 ○ n 阶行列式可简写为 D=|a_ij |_(n×n) ○ 有 n! 项，正负各一半（n≥2） ○ 定义的理论意义计算意义（除非零多） • 另一种定义 ○ |■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|=∑▒〖(−1)^(N(i_1…i_n )+N(j_1…j_n ) ) a_(i_1 j_1 ) a_(i_2 j_2 )…a_(i_n j_n ) 〗 2.3 用定义计算行列式 • 下三角行列式 ○ |■8(a_11&0&0&…&0@a_21&a_22&0&…&0@a_31&a_32&a_33&…&0@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@a_n1&a_n2&a_n3&…&a_nn )|=(−1)^(N(12…n)) a_11 a_22…a_nn=a_11 a_22…a_nn • 上三角行列式 ○ |■8(a_11&a_12&a_13&…&a_1n@0&a_22&a_23&…&a_2n@0&0&a_33&…&a_3n@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&0&…&a_nn )|=a_11 a_22…a_nn • 对角线行列式 ○ |■8(a_11&0&0&…&0@0&a_22&0&…&0@0&0&a_33&…&0@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&0&…&a_nn )|=a_11 a_22…a_nn • 副对角线行列式 ○ |■8(0&0&…&0&a_1n@0&…&…&a_(2,n−1)&a_2n@⋮&⋮&⋰&⋮&⋮@0&a_(n−1,2)&…&…&a_(n−1,n)@a_n1&a_n2&…&a_(n,n−1)&a_nn )|=(−1)^(N(n,n−1…1)) a_1n a_(2,n−1) a_(3,n−2)…a_n1 ○ N(n, n−1…1)=(n−1)+(n−2)+…+1=n(n−1)/2 ○ (−1)^(n(n−1)/2)={█(1, n=4k or 4k+1@−1, n=4k+2 or 4k+3)┤ ○ ⇒|■8(0&0&…&0&a_1n@0&…&…&a_(2,n−1)&a_2n@⋮&⋮&⋰&⋮&⋮@0&a_(n−1,2)&…&…&a_(n−1,n)@a_n1&a_n2&…&a_(n,n−1)&a_nn )|={█(a_1n a_(2,n−1) a_(3,n−2)…a_n1, n=4k or 4k+1@−a_1n a_(2,n−1) a_(3,n−2)…a_n1, n=4k+2 or 4k+3)┤ • 练习 ○ |■8(0&1&0&1@1&0&1&0@0&0&1&0@0&0&1&1)|=(−1)^(N(2134)) a_12 a_21 a_33 a_44=−1$

第3讲行列式的性质

3.1 行列式的性质 • 转置(Transposition) ○ D=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|=|a_ij | ○ D^T=|■8(a_11&a_21&…&a_n1@a_12&a_22&…&a_n2@…&…&…&…@a_1n&a_2n&…&a_nn )|=|a_ji | • 性质1 ○ 行列式转置后值不变 D^T=D ○ D^T=∑▒〖(−1)^(N(j_1…j_n )+N(1,2…n) ) a_(1j_1 ) a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗=∑_(j_1…j_n)▒〖(−1)^N(j_1…j_n ) a_(1j_1 ) a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗=D • 性质2 ○ 行列式交换行(列)改变符号 § D_1=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|, D_2=|■8(a_21&a_22&…&a_2n@a_11&a_12&…&a_1n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )| § ⇒D_1=−D_2 ○ 证明 § D_2=∑_(j_1…j_n)▒〖(−1)^(N(213…n)+N(j_1…j_n ) ) a_(1j_1 ) a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗=−∑_(j_1…j_n)▒〖(−1)^N(j_1…j_n ) a_(1j_1 ) a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗=〖−D〗_1 ○ 推论 § 行列式两行(列)相同，则 D=0 § 交换后 D=−D^′=−D⇒D=0 • 性质3 ○ 行列式可以按行(列)相加 § D_bc=|■8(b_11+c_11&b_12+c_12&…&b_1n+c_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )| § D_b=|■8(b_11&b_12&…&b_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|, D_c=|■8(c_11&c_12&…&c_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )| § ⇒D_bc=D_b+D_c ○ 证明 § D_bc=∑_(j_1…j_n)▒〖(−1)^N(j_1…j_n ) (b_1 j_1+c_1 j_1)a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗=∑_(j_1…j_n)▒〖(−1)^N(j_1…j_n ) b_1 j_1 a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗+∑_(j_1…j_n)▒〖(−1)^N(j_1…j_n ) c_1 j_1 a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗=D_b+D_c ○ 推论 § 多个相加仍成立 • 性质4 ○ 行列式可以按一行(列)提公因子 § D_k=|■8(〖ka〗_11&ka_12&…&〖ka〗_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|, D=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )| § ⇒D_k=kD ○ 证明 § D_k=∑_(j_1…j_n)▒〖(−1)^N(j_1…j_n ) ka_(1j_1 ) a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗=k∑_(j_1…j_n)▒〖(−1)^N(j_1…j_n ) a_(1j_1 ) a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗=kD ○ 推论1 § D 有一行(列)全为0，则 D=0 ○ 推论2 § D 有一行(列)成比例，则 D=0 • 性质5 ○ 把行列式一行(列)的倍数加到另一行，值不变 § D=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|, D^′=|■8(a_11+ka_21&a_12+ka_22&…&a_1n+ka_2n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )| § ⇒D=D^′ ○ 证明 § D^′=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|+k|■8(a_21&a_22&…&a_2n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|+k×0=D ○ 例 § |■8(1&4&1@3&6&3@−5&1&4)| →┴(r_2−3r_1 ) |■8(1&4&1@0&−6&0@−5&1&4)| →┴(r_3+5r_1 ) |■8(1&4&1@0&−6&0@0&10&9)| →┴(r_2÷6) 6|■8(1&4&1@0&−1&0@0&10&9)| →┴(r_3+10r_2 ) 6|■8(1&4&1@0&−1&0@0&0&9)| § =6×1×(−1)×9=−54 • 性质6 ○ 若 D 有 n^2−n 个以上的零，则必定有一行(列)全为0，即 D=0 • 性质7 ○ 奇数阶反对称行列式为零 § 若 n为奇数，则 D=|■8(0&a_12&…&a_1n@−a_12&0&…&a_2n@…&…&⋱&…@−a_1n&〖−a〗_2n&…&0)|=0 ○ 证明 § D^T=|■8(0&−a_12&…&〖−a〗_1n@a_12&0&…&〖−a〗_2n@…&…&⋱&…@a_1n&a_2n&…&0)|=(−1)^n |■8(0&a_12&…&a_1n@−a_12&0&…&a_2n@…&…&⋱&…@−a_1n&〖−a〗_2n&…&0)|=−D § D^T=D, D^T=−D⇒D=0 3.2 用行列式的性质进行计算 • 例1 ○ |■8(1&2&3@2&3&4@3&4&5)| (→┴(r_2−2r_1 ))┬(r_3−3r_1 ) |■8(1&2&3@0&−1&−2@0&−2&−4)| →┴(r_3−2r_2 ) |■8(1&2&3@0&−1&−2@0&0&0)|=0 • 例2 ○ |■8(0&1&1@2&3&4@3&4&5)| →┴(r_1↔r_2 )−|■8(2&3&4@0&1&1@3&4&5)| →┴(r_3−3/2 r_1 )−|■8(2&3&4@0&1&1@0&−1/2&−1)| →┴(r_3+1/2 r_2 )−|■8(2&3&4@0&1&1@0&0&−1/2)|=−2×1×(−1/2)=1 • 例3 ○ |■8(1&2&3&4@2&3&4&1@3&4&1&2@4&1&2&3)| →┴(c_1+(c_2+c_3+c_4)) |■8(10&2&3&4@10&3&4&1@10&4&1&2@10&1&2&3)| →┴(c_1÷10) 10|■8(1&2&3&4@1&3&4&1@1&4&1&2@1&1&2&3)| →┴(r_2,r_3,r_4−r_1 ) ○ 10|■8(1&2&3&4@0&1&1&−3@0&2&−2&−2@0&−1&−1&−1)| →┴(r_3÷2) 20|■8(1&2&3&4@0&1&1&−3@0&1&−1&−1@0&−1&−1&−1)| (→┴(r_3−r_2 ))┬(r_4+r_2 ) 20|■8(1&2&3&4@0&1&1&−3@0&0&−2&2@0&0&0&−4)| ○ =20×1×1×(−2)×(−4)=160

Shawn Zhong

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Math 375 – Homework 1

Math 375 – 9/7

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