Mathematics Archives - Page 56 of 60 - Shawn Zhong

第4讲行列式按行(列)展开

$4.1 代数余子式 • 三阶行列式 ○ |■8(a_11&a_12&a_13@a_21&a_22&a_23@a_31&a_32&a_33 )|=a_11 |■8(a_22&a_23@a_32&a_33 )|−a_22 |■8(a_21&a_23@a_31&a_33 )|+a_33 |■8(a_21&a_22@a_31&a_32 )| • 余子式 (Minor) ○ a_ij 所在的行和列划掉后剩下的行列式，记作 M_ij • 代数余子式 (Cofactor) ○ 〖A_ij=(−1)〗^(i+j) M_ij • 练习：|■8(a_11&a_12&a_13&a_14@a_21&a_22&a_23&a_24@a_31&a_32&a_33&a_34@a_41&a_42&a_43&a_44 )| ○ A_32=(−1)^(3+2) M_32=−|■8(a_11&a_13&a_14@a_21&a_23&a_24@a_41&a_43&a_44 )| ○ A_13=(−1)^(1+3) M_13=|■8(a_21&a_23&a_24@a_31&a_32&a_34@a_41&a_42&a_44 )| 4.2 行列式按一行(列)的展开 • 定理1 ○ 内容 § 对于 D=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )| § D=a_i1 A_i1+a_i2 A_i2+…+a_in A_in (i=1,2,3… n) § D=a_1j A_1j+a_2j A_2j+…+a_nj A_nj (j=1,2,3… n) § 即 D=∑_(i=1)^n▒〖a_ij A_ij 〗=∑_(j=1)^n▒〖a_ij A_ij 〗 ○ 证明 § D=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )| § =|■8(a_11&0&…&0@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|+|■8(0&a_12&…&0@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|+…+|■8(0&…&0&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )| § 对于第一项： □ 第一项=∑_(j_2…j_n)▒〖(−1)^N(〖1j〗_2…j_n ) a_11 a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗 □ =a_11 ∑_(j_2…j_n)▒〖(−1)^N(〖1j〗_2…j_n ) a_(2j_2 )…a_(nj_n ) 〗=a_11 M_11=a_11 A_11 § 对于第二项，第二列与第一列交换后： □ 第二项=−a_11 M_11=a_11 A_11 § 对于第三项，第三列和第二列交换，第二列再和第一列交换： □ 第三项=a_11 M_11=a_11 A_11 § 以此类推，可得 □ D=a_i1 A_i1+a_i2 A_i2+…+a_in A_in (i=1,2,3… n) • 定理2 ○ 内容 § 对于 D=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@…&…&…&…@a_i1&a_i2&…&a_in@…&…&…&…@a_s1&a_s2&…&a_sn@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )| § a_i1 A_s1+a_i2 A_s2+…+a_in A_sn=0 ○ 证明 § 将 D 第 s 行换成第 i 行，构造 D^′=|■8(a_11&a_12&…&a_1n@…&…&…&…@a_i1&a_i2&…&a_in@…&…&…&…@a_i1&a_i2&…&a_in@…&…&…&…@a_n1&a_n2&…&a_nn )|=0 § 将 D^′ 按 s 行展开，得 D^′=a_i1 A_s1+a_i2 A_s2+…+a_in A_sn ○ 总结 § ∑_(i=1)^n▒〖a_ij A_it 〗={█(D, j=t@0, j≠t)┤ § ∑_(j=1)^n▒〖a_ij A_sj 〗={█(D, i=s@0, i≠s)┤ • 练习：D=|■8(1&1&−1@2&1&0@3&1&1)| ○ 求 A_13+A_23+A_33 § 构造 D^′=|■8(1&1&1@2&1&1@3&1&1)|，则 D^′=A_13+A_23+A_33 § ∴A_13+A_23+A_33=D^′=0 ○ 求 A_11+A_12 § 构造 D^′=|■8(1&1&0@2&1&1@3&1&1)|，则 D^′=A_13+A_12 § ∴〖A_11+A_12=D〗^′=|■8(1&1&0@2&1&0@3&1&1)|=|■8(1&1@2&1)|=1−2=−1 4.3 范德蒙行列式 (Vandermonde Determinant) • 定义 ○ V_n=|■8(1&1&1&…&1@a_1&a_2&a_3&…&a_n@a_1^2&a_2^2&a_3^2&…&a_n^2@⋮&⋮&⋮&⋮&⋮@a_1^(n−1)&a_2^(n−1)&a_3^(n−1)&…&a_n^(n−1) )| • 前三阶范德蒙行列式 ○ V_1=1 ○ V_2=|■8(1&1@a_1&a_2 )| ○ V_3=|■8(1&1&1@a_1&a_2&a_3@a_1^2&a_2^2&a_3^2 )|=|■8(1&1&1@a_1&a_2&a_3@0&a_2 (a_2−a_1 )&a_3 (a_3−a_1 ) )| ○ =|■8(1&1&1@0&a_2−a_1&a_3−a_1@0&a_2 (a_2−a_1 )&a_3 (a_3−a_1 ) )|=|■8(a_2−a_1&a_3−a_1@a_2 (a_2−a_1 )&a_3 (a_3−a_1 ) )| ○ =(a_2−a_1 )(a_3−a_1 )|■8(1&1@a_1&a_2 )|=(a_2−a_1 )(a_3−a_1 )(a_3−a_2 ) • 正序差 ○ a_j−a_i, 1≤i<j≤n • 定理 ○ V_n=正序差的乘积=∏_(i≤i<j≤n)▒〖(a_j−a_i 〗) ○ V_n=[(a_n−a_1 )(a_(n−1)−a_1 )…(a_2−a_1 )]×[(a_n−a_2 )(a_(n−1)−a_2 )…(a_3−a_2 )]×…×(a_n−a_(n−1) ) ○ 项数=(n−1)+(n−2)+…+1=n(n−1)/2 • 证明 ○ V_n=|■8(1&1&1&…&1@a_1&a_2&a_3&…&a_n@a_1^2&a_2^2&a_3^2&…&a_n^2@⋮&⋮&⋮&⋮&⋮@a_1^(n−1)&a_2^(n−1)&a_3^(n−1)&…&a_n^(n−1) )| ○ =|■8(1&1&1&…&1@0&a_2−a_1&a_3−a_1&…&a_n−a_1@0&a_2 (a_2−a_1)&a_3 (a_3−a_1)&…&a_n (a_n−a_1)@⋮&⋮&⋮&⋮&⋮@0&a_2^(n−2) (a_2−a_1)&a_3^(n−2) (a_3−a_1)&…&a_n^(n−2) (a_n−a_1))| ○ =(a_2−a_1 )(a_3−a_1 )…(a_n−a_1 )|■8(1&1&1&…&1@a_1&a_2&a_3&…&a_(n−1)@a_1^2&a_2^2&a_3^2&…&a_(n−1)^2@⋮&⋮&⋮&⋮&⋮@a_1^(n−2)&a_2^(n−2)&a_3^(n−2)&…&a_(n−1)^(n−2) )| ○ =(a_2−a_1 )(a_3−a_1 )…(a_n−a_1 ) V_(n−1) • 例1：求|■8(1&1&1&1@1&2&3&4@1&4&9&16@1&8&27&64)| ○ 原式=(2−1)(3−1)(4−1)(3−2)(4−2)(4−3)=12 • 例2：求|■8(1&1&1&1@3&2&1&4@9&4&1&16@27&8&1&64)| ○ 原式=(2−3)(1−3)(4−3)(1−2)(4−2)(4−1)=−12 • 例3：|■8(a+b&x+b&x+a@x&a&b@x^2&a^2&b^2 )|=0, a≠b, 求x ○ |■8(a+b&x+b&x+a@x&a&b@x^2&a^2&b^2 )| ○ =|■8(a+b+x&a+b+x&a+b+x@x&a&b@x^2&a^2&b^2 )| ○ =(a+b+x)|■8(1&1&1@x&a&b@x^2&a^2&b^2 )| ○ =(a+b+x)(a−x)(b−x)(a−b)=0 ○ ⇒x=a or x=b or x=−a−b 4.4 行列式按多行(列)的展开 • 子式 ○ k 行 k 列交叉处组成的行列式 • 子式的余子式 ○ 行列式除去子式的部分，用 M 表示 • 代数余子式 ○ A=(−1)^(i_1+i_2+…+i_k+j_1+j_2+…+j_k ) M • 定理 ○ D=|■8(a_11&a_12&a_13&…&a_1n@a_21&a_22&a_23&…&a_2n@a_31&a_32&a_33&…&a_3n@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@a_n1&a_n2&a_n3&…&a_nn )|=∑_(k 行(列))▒SA ○ 其中 S 为 k 阶子式，A 为 n−k 阶代数余子式 • 例：|■8(2&3&0&0@1&2&3&0@0&1&2&3@0&0&1&2)| 按照前两行展开 ○ 原式=|■8(2&3@1&2)| (−1)^(1+2+1+2) |■8(2&3@1&2)|+|■8(2&0@1&3)| (−1)^(1+2+1+3) |■8(1&3@0&2)|+0+0+0+0 ○ =1×1+6×(−2)=−11$

第5讲行列式的计算

$5.1 基本篇 • 例1： |■8(0&1&0&…&0@0&0&2&…&0@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&0&…&n−1@n&0&0&…&0)| ○ 定义法 § D=(−1)^N(23…n−1,1) n!=(−1)^(n−1) n! ○ 对角线法 § 最后一行交换 n−1 次至第一行 § D=(−1)^(n−1) |■8(n&0&0&…&0@0&1&0&…&0@0&0&2&…&0@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&0&…&n−1)|=(−1)^(n−1) n! ○ 按照第一列展开 § D=n(−1)^(n+1) |■8(1&0&0&…&0@0&2&0&…&0@0&0&3&…&0@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&0&…&n−1)| § =n(−1)^(n+1) (n−1)!=(−1)^(n+1) n! • 例2： |■8(0&−1&−1&2@1&−1&0&2@−1&2&−1&0@2&1&1&0)| ○ 高斯消元法 § |■8(0&−1&−1&2@1&−1&0&2@−1&2&−1&0@2&1&1&0)|=−|■8(1&−1&0&2@0&−1&−1&2@−1&2&−1&0@2&1&1&0)| § =−|■8(1&−1&0&2@0&−1&−1&2@0&1&−1&2@0&3&1&−4)|=−|■8(1&−1&0&2@0&−1&−1&2@0&1&−1&2@0&3&1&−4)| § =−|■8(1&−1&0&2@0&−1&−1&2@0&0&−2&4@0&0&−2&2)|=−|■8(1&−1&0&2@0&−1&−1&2@0&0&−2&4@0&0&0&−2)| § =−1×(−1)×(−2)×(−2)=4 ○ 展开法 § |■8(0&−1&−1&2@1&−1&0&2@−1&2&−1&0@2&1&1&0)|=|■8(0&−1&−1&2@1&0&1&0@−1&2&−1&0@2&1&1&0)| § =2(−1)^(1+4) |■8(1&0&1@−1&2&−1@2&1&1)|=−2|■8(1&0&1@0&2&0@2&1&1)| § =−2×2(−1)^(2+2) |■8(1&1@2&1)|=4 • 例3：已知 |■8(a_11&a_12&a_13@a_21&a_22&a_23@a_31&a_32&a_33 )|=1，求|■8(6a_11&−2a_12&−10a_13@−3a_21&a_22&5a_23@−3a_31&a_32&5a_33 )| ○ |■8(6a_11&−2a_12&−10a_13@−3a_21&a_22&5a_23@−3a_31&a_32&5a_33 )|=(−2)(−3)(5)|■8(a_11&a_12&a_13@a_21&a_22&a_23@a_31&a_32&a_33 )|=30 • 例4：|■8(a&b&c&d@a&a+b&a+b+c&a+b+c+d@a&2a+b&3a+2b+c&4a+3b+2c+d@a&3a+b&6a+3b+c&10a+6b+3c+d)| ○ 原式=|■8(a&b&c&d@0&a&a+b&a+b+c@0&2a&3a+2b&4a+3b+2c@0&3a&6a+3b&10a+6b+3c)| ○ =|■8(a&b&c&d@0&a&a+b&a+b+c@0&0&a&2a+b@0&0&3a&7a+3b)|=|■8(a&b&c&d@0&a&a+b&a+b+c@0&0&a&2a+b@0&0&0&a)|=a^4 • 例5：已知 |■8(a_1&a_2&a_3&…&a_n@a_1&a_1+a_2−x&a_3&…&a_n@a_1&a_2&a_2+a_3−x&…&a_n@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@a_1&a_2&a_3&…&a_(n−1)+a_n−x)|=0 ○ D=|■8(a_1&a_2&a_3&…&a_n@a_1&a_1+a_2−x&a_3&…&a_n@a_1&a_2&a_2+a_3−x&…&a_n@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@a_1&a_2&a_3&…&a_(n−1)+a_n−x)| ○ =|■8(a_1&a_2&a_3&…&a_n@a_1&a_1−x&a_3&…&a_n@a_1&a_2&a_2−x&…&a_n@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@a_1&a_2&a_3&…&a_(n−1)−x)| ○ =a_1 (a_1−x)(a_2−x)…(a_(n−x)−x)=0 ○ ⇒x=a_1 or x=a_2 … x=a_(n−1) • 例6： |■8(1&1&0&0@1&k&1&0@0&0&k&2@0&0&2&k)| ○ 高斯消元法 § D=|■8(1&1&0&0@0&k−1&1&0@0&0&k&2@0&0&2&k)|=|■8(k−1&1&0@0&k&2@0&2&k)| § =(k−1)|■8(k&2@2&k)|=(k−1)(k^2−4) ○ 拉普拉斯展开（按照第三第四行） § D=|■8(k&2@2&k)| (−1)^(3+4+3+4) |■8(1&1@1&k)|=(k^2−4)(k−1) 5.2 技巧篇I—利用行列式性质 • 例1： |■8(x&a&a&…&a@a&x&a&…&a@a&a&x&…&a@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@a&a&a&…&x)| ○ 原式=|■8(x+(n−1)a&a&a&…&a@x+(n−1)a&x&a&…&a@x+(n−1)a&a&x&…&a@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@x+(n−1)a&a&a&…&x)| ○ =(x+(n−1)a)|■8(1&a&a&…&a@1&x&a&…&a@1&a&x&…&a@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@1&a&a&…&x)| ○ =(x+(n−1)a)|■8(1&a&a&…&a@0&x−a&a&…&a@0&0&x−a&…&a@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@0&0&0&…&x−a)| ○ =(x+(n−1)a) (x−a)^(n−1) • 例2：|■8(a^2&(a+1)^2&(a+2)^2&(a+3)^2@b^2&(b+1)^2&(b+2)^2&(b+3)^2@c^2&(c+1)^2&(c+2)^2&(c+3)^2@d^2&(d+1)^2&(d+2)^2&(d+3)^2 )| ○ 原式=|■8(a^2&(a+1)^2&2a+3&6a+9@b^2&(b+1)^2&2b+3&6b+9@c^2&(c+1)^2&2c+3&6c+9@d^2&(d+1)^2&2d+3&6d+9)|=0 • 例3（三线型a）：|■(1&a_1&&&&@−1&1−a_1&a_2&&&@&−1&1−a_2&a_3&&@&&−1&1−a_3&⋱&@&&&⋱&⋱&a_n@&&&&−1&1−a_n )| ○ 按行从上往下加 ○ 原式=|■(1&a_1&&&&@&1&a_2&&&@&&1&a_3&&@&&&1&⋱&@&&&&⋱&a_n@&&&&&1)|=1 • 例3（三线型b）：|■(−a_1&a_1&&&&@&〖−a〗_2&a_2&&&@&&−a_3&a_3&&@&&&⋱&⋱&@&&&&−a_n&a_n@1&1&1&…&1&1)| ○ 按列从左往右加 ○ 原式=|■(−a_1&&&&&@&〖−a〗_2&&&&@&&−a_3&&&@&&&⋱&&@&&&&−a_n&@1&2&3&…&n&n+1)|=(−1)^n (n+1) a_1…a_n • 例3（三线型c）：|■(1&2&3&…&n−1&n@1&−1&&&&@&2&−2&&&@&&3&−3&&@&&&⋱&⋱&@&&&&n−1&1−n)| ○ 按列从右往左加 ○ 原式=|■(n(n+1)/2&…&…&…&…&n@&−1&&&&@&&−2&&&@&&&−3&&@&&&&⋱&@&&&&&1−n)| ○ =n(n+1)/2 (−1)^(n−1) (n−1)!=(−1)^(n−1)/2 (n+1)! • 例4（箭型a）：|■(a_0&1&1&…&1@1&a_1&&&@1&&a_2&&@⋮&&&⋱&@1&&&&a_n )| ○ 令 r_1−1/a_1 r_2 得|■(a_0−1/a_1 &0&1&…&1@1&a_1&&&@1&&a_2&&@⋮&&&⋱&@1&&&&a_n )| ○ =|■(a_0−1/a_1 …−1/a_n &0&0&…&0@1&a_1&&&@1&&a_2&&@⋮&&&⋱&@1&&&&a_n )| ○ =a_1…a_n (a_0−1/a_1 …−1/a_n ) • 例4（箭型b）：|■8(1+a_1&1&1&…&1@1&1+a_2&1&…&1@1&1&〖1+a〗_3&…&1@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@1&1&1&…&1+a_n )| ○ 原式=|■8(1+a_1&1&1&…&1@−a_1&a_2&0&…&0@−a_1&0&a_3&…&0@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@−a_1&0&0&…&a_n )| ○ 令 r_1−1/a_2 r_2, r_1−1/a_3 r_3… r_1−1/a_n r_n 得 ○ |■8(1+a_1+a_1/a_2 +…+a_1/a_n &0&0&…&0@−a_1&a_2&0&…&0@−a_1&0&a_3&…&0@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@−a_1&0&0&…&a_n )| ○ =(1+a_1+a_1/a_2 +…+a_1/a_n )(a_2 a_3…a_n )=(1+1/a_1 +…1/a_n ) a_1…a_n 5.3 技巧篇II—利用行列式的展开 • 例1（两线型a）：|■(a&b&&&@&a&b&&@&&⋱&⋱&@&&&a&b@b&&&&a)| ○ 原式=a(−1)^(1+1) |■(a&b&&@&⋱&⋱&@&&a&b@&&&a)|+b(−1)^(n+1) |■(b&&&@a&b&&@&⋱&⋱&@&&a&b)| ○ =a(−1)^(1+1) a^(n−1)+b(−1)^(n+1) b^(n−1)=a^n+(−1)^(n+1) b^n • 例1（两线型b）：|■(a&&&&b@&a&&&@&&⋱&&@&&&a&@b&&&&a)| ○ 原式=a(−1)^2 |■(a&&&@&⋱&&@&&a&@&&&a)|+b(−1)^(n+1) |■(&&&b@a&&&@&⋱&&@&&a&)| ○ =a(−1)^2 a^(n−1)+b(−1)^(n+1) b(−1)^(1+n−1) |■(a&&@&⋱&@&&a)|_((n−2)×(n−2)) ○ = a(−1)^2 a^(n−1)+b(−1)^(n+1) b(−1)^(1+n−1) a^(n−2)=a^n−b^2 a^(n−2) • 例1（两线型c）：D_(奇×奇)=|■(a&&&&&&b@&⋱&&&&⋰&@&&a&&b&&@&&&a&&&@&&b&&a&&@&⋰&&&&⋱&@b&&&&&&a)| ○ 令 r_i−b/a r_1 (i>(n−1)/2)得 ○ |■(a&&&&&&b@&⋱&&&&⋰&@&&a&&b&&@&&&a&&&@&&&&a−b^2/a&&@&&&&&⋱&@&&&&&&a−b^2/a)| ○ =a^((n+1)/2) (a−b^2/a)^((n−1)/2)=a(a^2−b^2 )^((n−1)/2) • 例2：|■(−a_1&a_1&&&&@&〖−a〗_2&a_2&&&@&&−a_3&a_3&&@&&&⋱&⋱&@&&&&−a_n&a_n@1&1&1&…&1&1)|_((n+1)×(n+1)) ○ 全部加到第一列得 ○ |■(&a_1&&&&@&〖−a〗_2&a_2&&&@&&−a_3&a_3&&@&&&⋱&⋱&@&&&&−a_n&a_n@n+1&1&1&…&1&1)|_((n+1)×(n+1)) ○ =(n+1) (−1)^(n+1+1) |■(a_1&&&&@〖−a〗_2&a_2&&&@&−a_3&a_3&&@&&⋱&⋱&@&&&−a_n&a_n )|_(n×n) ○ =(−1)^n (n+1) a_1 a_2…a_n 5.4 提高篇 • 例1：|■(x&−1&&&@&x&−1&&@&&⋱&⋱&@&&&x&−1@a_n&a_(n−1)&…&a_2&a_1+x)|_(n×n) ○ 法1：从后往前将后一列乘 x 加到前一列 § 原式=|■(0&−1&&&@&&⋱&&@&&&−1&@&&&&−1@x^n+a_1 x^(n−1)+…+a_n&…&…&x^2+a_1 x+a_2&a_1+x)| § =(x^n+a_1 x^(n−1)+…+a_n ) (−1)^(n+1) |■(−1&&&@&−1&&@&&⋱&@&&&−1)|_((n−1)×(n−1)) § =(x^n+a_1 x^(n−1)+…+a_n ) (−1)^(n+1) (−1)^(n−1)=x^n+a_1 x^(n−1)+…+a_n ○ 法2：直接展开（递推法） § 原式=x(−1)^2 |■(x&−1&&@&⋱&⋱&@&&x&−1@a_(n−1)&…&a_2&a_1+x)|+a_n (−1)^(n+1) |■(−1&&&@x&−1&&@&⋱&⋱&@&&x&−1)| § =x(−1)^2 |■(x&−1&&@&⋱&⋱&@&&x&−1@a_(n−1)&…&a_2&a_1+x)|+a_n § 将原式记为 D_n，则有 § D_n=xD_(n−1)+a_n=x(xD_(n−2)+a_(n−1) )+a_n=…=x^n+a_1 x^(n−1)+…+a_n • 例2： ○ 求证 § |■8(a_11+x&…&a_1n+x@⋮&⋮&⋮@a_n1+x&…&a_nn+x)|=|■8(a_11&…&a_1n@⋮&⋮&⋮@a_n1&…&a_nn )|+x∑_(i=1)^n▒∑128_(j=1)^n▒A_ij § (其中A_ij 为|■8(a_11&…&a_1n@⋮&⋮&⋮@a_n1&…&a_nn )|的代数余子式) ○ 证明 § |■8(a_11+x&…&a_1n+x@⋮&⋮&⋮@a_n1+x&…&a_nn+x)| § =|■8(a_11&…&a_1n@⋮&⋮&⋮@a_n1&…&a_nn )|+|■8(x&a_12&…&a_1n@⋮&⋮&⋮&⋮@x&a_n2&…&a_nn )|+|■8(a_11&x&…&a_1n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_n1&x&…&a_nn )|+…+|■8(a_11&…&x@⋮&⋮&⋮@a_n1&…&x)| § =|■8(a_11&…&a_1n@⋮&⋮&⋮@a_n1&…&a_nn )|+x∑_(i=1)^n▒A_i1 +x∑_(i=1)^n▒〖A_i2+…+x∑_(i=1)^n▒A_in 〗 § =|■8(a_11&…&a_1n@⋮&⋮&⋮@a_n1&…&a_nn )|+x∑_(i=1)^n▒∑128_(j=1)^n▒A_ij • 例3 ○ 已知 § a_1,a_2…a_n 为互不相同的实数 § b_1,b_2…b_n 为任意一组实数 ○ 求证 § 存在唯一的多项式 f(x)=c_0+c_1 x+…c_(n−1) x^(n−1) § 使得 f(a_i )=b_i, (i=1,2…n) ○ 证明 § {█(c_0+c_1 a_1+…c_(n−1) a_1^(n−1)=b_1@c_0+c_1 a_2+…c_(n−1) a_2^(n−1)=b_2@⋮@c_0+c_1 a_n+…c_(n−1) a_n^(n−1)=b_n )┤ § 系数行列式 D=|■8(1&a_1&a_1^2&…&a_1^(n−1) @1&a_2&a_2^2&…&a_2^(n−1)@⋮&⋮&⋮&⋱&⋮@1&a_(n−1)&a_(n−1)^2&…&a_(n−1)^(n−1)@1&a_n&a_n^2&…&a_n^(n−1) )| § =V_n=∏_(i≤i<j≤n)▒〖(a_j−a_i 〗) • 例4：|■8(1&1&1&…&1@a_1&a_2&a_3&…&a_n@a_1^2&a_2^2&a_3^2&…&a_n^2@⋮&⋮&⋮&⋮&⋮@a_1^(n−2)&a_1^(n−2)&a_1^(n−2)&…&a_1^(n−2)@a_1^n&a_2^n&a_3^n&…&a_n^n )| ○ 构造 D_(n+1)=|■8(1&1&1&…&1&1@a_1&a_2&a_3&…&a_n&x@a_1^2&a_2^2&a_3^2&…&a_n^2&x^2@⋮&⋮&⋮&⋮&⋮&⋮@a_1^(n−2)&a_1^(n−2)&a_1^(n−2)&…&a_1^(n−2)&x^(n−2)@a_1^(n−1)&a_1^(n−1)&a_1^(n−1)&…&a_1^(n−1)&x^(n−1)@a_1^n&a_2^n&a_3^n&…&a_n^n&x^n )| ○ =(∏_(i≤i<j≤n)▒〖(a_j−a_i)〗)(├0(x−a_1 ┤0)(x−a_1 )…(x−a_n)) ○ D_(n+1) 为 n 次多项式，可以写为 c_0+c_1 x+…c_(n−1) x^(n−1)+c_n x^n ○ 同时 D_(n+1) 展开得：D_(n+1)=(−1)^(n+n+1) D ○ 对比系数得 ○ D=−C_(n−1)=−(∏_(i≤i<j≤n)▒(a_j−a_i ) )(−a_1−a_2−…a_n ) ○ =(∏_(i≤i<j≤n)▒(a_j−a_i ) )(∑▒a_n )$

第6讲克莱姆法则

$6.1 二元和三元线性方程组 • 二元线性方程组 ○ {█( a_11 x_1+a_12 x_2=b_1 ① @a_21 x_1+a_22 x_2=b_2 ②)┤ ○ ①×a_22−②×a_12⇒(a_11 a_22−a_21 a_12 ) x_1=b_1 a_22−b_2 a_12 ○ 若(a_11 a_22−a_21 a_12 )=0⇒无解或任意解 ○ 若(a_11 a_22−a_21 a_12 )≠0⇒x_1=(b_1 a_22−b_2 a_12)/(a_11 a_22−a_21 a_12 )=|■8(b_1&a_12@b_2&a_22 )|/|■8(a_11&a_12@a_21&a_22 )| ○ 同理可得x_2=(b_2 a_11−b_1 a_21)/(a_11 a_22−a_21 a_12 )=|■8(a_11&b_1@a_21&b_2 )|/|■8(a_11&a_12@a_21&a_22 )| ○ 一般将|■8(a_11&a_12@a_21&a_22 )|记作D ○ 将|■8(b_1&a_12@b_2&a_22 )|记作D_1，|■8(a_11&b_1@a_21&b_2 )|记作D_2 ○ 则方程组的解可以写成{█(x_1=D_1/D@x_1=D_2/D)┤ • 三元线性方程组 ○ {█(a_11 x_1+a_12 x_2+a_13 x_3=b_1 ①@a_21 x_1+a_22 x_2+a_23 x_3=b_2 ②@a_31 x_1+a_32 x_2+a_33 x_3=b_3 ③)┤ ○ 由行列式的性质∑_(i=1)^n▒〖a_ij A_it 〗={█(D, j=t@0, j≠t)┤,∑_(j=1)^n▒〖a_ij A_sj 〗={█(D, i=s@0, i≠s)┤ ○ 作 ①×A_11+②×A_21+③×A_31 以消去x_1 ○ ⇒(a_11 A_11+a_21 A_21+a_31 A_31 ) x_1+0x_2+0x_3=b_1 A_11+b_2 A_21+b_3 A_31 ○ {█((a_11 A_11+a_21 A_21+a_31 A_31 )=|■8(a_11&a_12&a_13@a_21&a_22&a_23@a_31&a_32&a_33 )|=D@b_1 A_11+b_2 A_21+b_3 A_31=|■8(b_1&a_12&a_13@b_2&a_22&a_23@b_3&a_32&a_33 )|=D_1 )┤⇒x_1=D_1/D ○ 同理可得 x_2=D_2/D,x_3=D_3/D 6.2 克莱姆法则 • 定理内容 ○ {█(a_11 x_1+a_12 x_2+…+a_1n x_n=b_1@a_21 x_1+a_22 x_2+…+a_2n x_n=b_2@⋮@a_n1 x_1+a_n2 x_2+…+a_nn x_n=b_n )┤,若 D≠0, 则解存在且唯一 ○ x_j=D_j/D, 其中D_j=|■8(a_11&…&b_1&…&a_n1@⋮&…&⋮&…&⋮@a_n1&…&b_n&…&a_nn )|┴j列 • 证明必要性 ○ ①×A_11+②×A_21+③×A_31+…得 ○ (a_11 A_11+a_21 A_21+…+a_n1 A_n1 ) x_1=b_1 A_11+b_2 A_21+…+b_n A_n1 ○ ⇒〖Dx〗_1=D_1 ○ 若 D≠0, x_1=D_1/D ○ 类似地 x_j=D_j/D, j=1,2…n • 证明充分性 ○ 要证明 a_11 D_1/D+a_12 D_2/D+…+a_1n D_n/D=b_1 ○ 即证明 a_11 D_1+a_12 D_2+…a_1n D_n=b_1 D ○ 左=[a_11 (b_1 A_11+b_2 A_21+…+b_n A_n1 )]+…+[a_1n (b_1 A_1n+b_2 A_2n+…+b_n A_nn )] ○ =b_1 (a_11 A_11+a_12 A_12+…+a_1n A_1n)=b_1 D=右 6.3 法则用于计算？ • D=|a_ij |_(25×25) • 计算一个行列式需要多少次乘法： • 总共需要乘法次数= • 总共需要除法次数=25 • 总乘除法次数=25!×24×26+25 • 天河二号：33.86×〖10〗^15 次/秒 • t=(25!×24×26+25)/(33.86×〖10〗^15 )=9064年 • 故克莱姆法则的计算意义不大 6.4 法则的理论意义 • 对于一般的 n×n 线性方程组 ○ {█(a_11 x_1+a_12 x_2+…+a_1n x_n=b_1@a_21 x_1+a_22 x_2+…+a_2n x_n=b_2@⋮@a_n1 x_1+a_n2 x_2+…+a_nn x_n=b_n )┤ ○ D≠0⟺有且仅有一解 • 对于齐次线性方程组 ○ {█(a_11 x_1+a_12 x_2+…+a_1n x_n=0@a_21 x_1+a_22 x_2+…+a_2n x_n=0@⋮@a_n1 x_1+a_n2 x_2+…+a_nn x_n=0)┤ ○ D≠0⟺仅有零解（即解都为零） ○ D=0⟺有非零解 • 例1：{█(kx+y+z=0@x+ky−z=0@2x−y+z=0) 有非零解，求k┤ ○ |■8(k&1&1@1&k&−1@2&−1&1)|=|■8(k−2&2&0@3&k−1&0@2&−1&1)|=(k−2)(k−1)−6=0 ○ ⇒k=4 or k=−1 • 例2：平面直角坐标系内有两点(x_1,y_1 ),(x_2,y_2 )，求直线方程 ○ {█(ax_1+by_1+c=0@ax_2+by_2+c=0@ax+by+c=0)┤有非零解⇒|■8(x_1&y_1&1@x_2&y_2&1@x&y&1)|=0 • 推广 ○ 已知三点(x_1,y_1,z_1 ),(x_2,y_2,z_2 ),(x_3,y_3,z_3) ○ 则这三点确定的平面方程为|■8(x_1&y_1&z_1&1@x_2&y_2&z_2&1@x_3&y_3&z_3&1@x&y&z&1)|=0$

第7讲矩阵

$7.1 矩阵的概念 • 定义 ○ (■8(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@a_m1&a_m2&…&a_mn )) ○ m×n 矩形的阵，记作 A_(m×n) ○ a_ij (i=1…m,j=1…n) 称为矩阵的元素 • 历史 ○ 英国数学家 Sylvester 在1851年首先提出 Matrix • 表示 ○ A_(m×n)=(a_ij )_(m×n) ○ B_(p×q)=(b_ij )_(p×q) ○ 下标可以省略 • 注意点 ○ 零矩阵：a_ij=0 (i=1…m,j=1…n) ○ 非负矩阵：a_ij≥0 (i=1…m,j=1…n) ○ 方阵：n×n 的矩阵 ○ 行向量：1×n 的矩阵 ○ 列向量：n×1 的矩阵 7.2 矩阵的线性运算 • 定义：相等 ○ 已知 A=(a_ij )_(m×n) , B=(b_ij )_(p×q) ○ A=B⇔┴def {█(m=p@n=q@a_ij=b_ij )┤ • 定义：加法 ○ 已知 A=(a_ij )_(m×n) , B=(b_ij )_(p×q) ○ A+B=┴def (a_ij+b_ij )_(m×n) • 加法的性质 ○ 结合律 § (A+B)+C=A+(B+C) ○ 交换律 § A+B=B+A ○ 分配律 § 需要两种运算，暂略 ○ 负矩阵 § −A=┴def (−a_ij )_(m×n) § A+(−A)=0 ○ 单位元（0） § A+0=A • 定义：减法 ○ 已知 A=(a_ij )_(m×n) , B=(b_ij )_(p×q) ○ A−B=┴def A+(−B) • 定义：数乘（数量乘法） ○ 已知 A=(a_ij )_(m×n) , k∈R ○ kA=(〖ka〗_ij )_(m×n) • 数乘的性质 ○ 结合律 § (kl)A=k(lA) ○ 交换律 § kA=Ak § 但无所谓“交换”，一般将数量放在矩阵前面 ○ 分配律（对数的加法分配） § (k+l)A=kA+lA ○ 分配律（对矩阵加法分配） § k(A+B)=kA+kB ○ 单位元（1） § 1A=A 7.3 线性空间 • 矩阵满足的性质：对于矩阵A_(m×n) , B_(m×n) , C_(m×n) 1. (A+B)+C=A+(B+C) 2. A+B=B+A 3. A+(−A)=0 4. A+0=A 5. (kl)A=k(lA) 6. (k+l)A=kA+lA 7. k(A+B)=kA+kB 8. 1A=A • 定义：线性空间 ○ • 线性空间的例子 ○ 所有 m×n 矩阵 ○ 所有 n 维向量 ○ 所有一元多项式 § 所有次数 ≤n 的一元多项式是线性空间 § 所有次数 n 的一元多项式不是线性空间，因为对加法不封闭$

第8讲矩阵乘法

$8.1 矩阵乘法的定义 • 引例 ○ 点 (x,y) 绕原点旋转 θ_1 后到 (x^′,y^′ ) ○ 则 (x,y) 和 (x^′,y^′ ) 满足关系{█(x=a_11 x^′+a_12 y′@y=a_21 x^′+a_22 y′)┤ 系数矩阵表示为 (■8(a_11&a_12@a_21&a_22 )) ○ 点 (x′,y′) 再绕原点旋转 θ_2 后到 (x^′′,y^′′ ) ○ 则 (x′,y′) 和 (x^′′,y^′′ ) 满足关系{█(x′=b_11 〖x^′〗^′+b_12 y′′@y′=b_21 x^′′+b_22 y′′)┤ 系数矩阵表示为 (■8(b_11&b_12@b_21&b_22 )) ○ 要求 (x,y) 和 (〖x′〗^′,y^′′ ) 之间的关系 ○ 我们可以联立{█(x=a_11 x^′+a_12 y′@y=a_21 x^′+a_22 y′)┤ 和 {█(x′=b_11 〖x^′〗^′+b_12 y′′@y′=b_21 x^′′+b_22 y′′)┤ ○ 解得 {█(x=(a_11 b_11+a_12 b_21 ) x^′′+(a_11 b_12+a_12 b_22 )y′′@y=(a_21 b_11+a_22 b_22 ) x^′′+(a_21 b_12+a_22 b_22 )y′′)┤ ○ 用系数矩阵表示为 (■8(a_11 b_11+a_12 b_21&a_11 b_12+a_12 b_22@a_21 b_11+a_22 b_22&a_21 b_12+a_22 b_22 )) ○ 故先做矩阵变换 (■8(a_11&a_12@a_21&a_22 ))，再做矩阵变换(■8(b_11&b_12@b_21&b_22 )) ○ 等价于做矩阵变换(■8(a_11 b_11+a_12 b_21&a_11 b_12+a_12 b_22@a_21 b_11+a_22 b_22&a_21 b_12+a_22 b_22 )) • 定义：矩阵乘法 ○ A=(a_ij )_(m×l) B=(b_ij )_(l×n) C=(c_ij )_(m×n) ○ AB=┴def C ○ c_ij=a_i1 b_1j+a_i2 b_2j+…a_il b_lj=∑_(k=1)^l▒〖a_ik b_kj 〗 • 例1：A=(■8(1&2@2&3@3&1))_(3×2), B=(■8(1&1&0@0&1&0))_(2×3) ○ AB=(■8(1&2@2&3@3&1))(■8(1&1&0@0&1&0))=(■8(1&3&0@2&5&0@3&4&0))_(3×3) ○ BA=(■8(1&1&0@0&1&0))(■8(1&2@2&3@3&1))=(■8(3&5@2&3))_(2×2) ○ ∴AB≠BA • 例2：A=(■8(1&2@3&4)), B=(■8(1&1@0&1)) ○ AB=(■8(1&3@3&7)) ○ BA=(■8(4&6@3&4)) ○ ∴AB≠BA • 例3：A=(■8(1&2@3&4)), B=(■8(1@1)) ○ AB=(■8(3@7)) ○ BA 未定义 • 例4：A=(■8(1&2@3&4)),B=(■8(1&0@0&1)) ○ AB=BA=(■8(1&2@3&4)) 8.2 矩阵乘法的性质 • 不满足交换律 ○ 一般情况下 AB≠BA （亦有可能未定义） ○ 若 AB=BA 则 A, B 可交换 ○ 例：问所有与 B=(■8(0&1@0&0)) 可交换的矩阵 § 设 A_(2×2)=(■8(a_11&a_12@a_21&a_22 )) 满足 AB=BA § 则有(■8(0&a_11@0&a_21 ))=(■8(a_21&a_22@0&0)) § ⇒{█(a_21=0@a_11=a_22 )⇒A=(■8(a_11&a_12@0&a_11 ))┤ ○ 注：可交换矩阵必为方阵，且方阵的规模相同 § A_(m×n) B_(p×q) § 若乘法交换律 A_(m×n) B_(p×q)=B_(p×q) A_(m×n) 成立 § 则 {█(A_(m×n) B_(p×q) 存在@B_(p×q) A_(m×n) 存在@左=右)┤⇒{█(n=p@p=q@m=p@q=n)⇒m=n=p=q┤ • 满足结合律 ○ 数乘 § (kA)B=A(kB)=k(AB) § 显然成立，证明略 ○ 三矩阵相乘 § (AB)C=A(BC) ○ 证明三矩阵相乘结合律：(AB)C=A(BC) § 为使得运算成立，假设 A_(m×s) B_(s×t) C_(t×n) § 左通项=∑_(l=1)^t▒((∑_(k=1)^s▒〖a_ik b_kj 〗) c_lj ) =∑_(k=1)^s▒∑_(l=1)^t▒〖〖a_ik b〗_il c_lj 〗 § 右通项=∑_(k=1)^s▒(a_ik (∑_(l=1)^t▒〖b_il c_lj 〗)) =∑_(k=1)^s▒∑_(l=1)^t▒〖〖a_ik b〗_il c_lj 〗 § ∵左通项=右通项 § ∴左=右，即等式成立∎ • 满足分配律 ○ A(B+C)=AB+AC ○ (B+C)A=BA+CA ○ 证明矩阵乘法分配律：A(B+C)=AB+AC § 为使得运算成立，假设 A_(m×l) B_(l×n) C_(l×n) § 左通项=∑_(k=1)^l▒〖a_ik (b_kj+c_kj)〗=∑_(k=1)^l▒〖a_ij b_kj 〗+∑_(k=1)^l▒〖a_ij c_kj 〗 § 右通项=∑_(k=1)^l▒〖a_ij b_kj 〗+∑_(k=1)^l▒〖a_ij c_kj 〗 § ∵左通项=右通项 § ∴左=右，即等式成立∎ • 不满足消去律 ○ AB=0 ⇏ A=0 or B=0 § A=(■8(2&4@−3&−6)), B=(■8(−2&−4@1&−2)) § AB=(■8(2&4@−3&−6))(■8(−2&−4@1&−2))=(■8(0&0@0&0)) ○ AC=BC ⇏ A=B § A=(■8(1&2@0&3)), B=(■8(1&0@0&4)), C=(■8(1&1@0&0)) § AC=BC=(■8(1&1@0&0)) 8.3 矩阵的其他运算 • 转置 ○ 例子 § A=(■8(a_11&a_12&a_13@a_21&a_22&a_23 ))_(2×3)⇒A^T=(■8(a_11&a_21@a_12&a_22@a_13&a_23 ))_(3×2) ○ 定义 § A=(a_ij )_(m×n) A^T=(b_ij )_(n×m) § b_ij=a_ji, {█(i=1…n@b=1…m)┤ ○ 转置的性质 1. (A^T )^T=A 2. (A+B)^T=A^T+B^T 3. (kA)^T=〖k(A〗^T) 4. (AB)^T=B^T A^T ○ 性质4的证明 § 为使得运算成立，假设 A=(a_ij )_(m×l), B=(b_ij )_(l×n) § 左通项=∑_(k=1)^l▒〖a_jk b_ki 〗 § 右通项=∑_(k=1)^l▒〖b_ki a〗_jk § ∵左通项=右通项 § ∴左=右，即等式成立∎ ○ 性质4的推广 (ABC)^T=C^T (AB)^T=C^T B^T A^T • 定义：向量的内积和外积 ○ x=(x_1,x_2…x_n )^T, y=(y_1,y_2…y_n )^T ○ 内积：x^T y=(x_1,x_2…x_n )(■8(y_1@y_2@⋮@y_n ))=x_1 y_1+x_2 y_2+…+x_n y_n ○ 外积：y^T x=(■8(x_1 y_1&x_1 y_2&…&x_1 y_n@x_2 y_1&x_2 y_2&…&x_2 y_n@⋮&⋮&⋮&⋮@x_n y_1&x_n y_2 &…&x_n y_n )) • 方阵的幂 ○ 定义 § A^k=(AA…A)┬共k个 ○ 方阵幂的性质 1. A^(k_1 ) A^(k_2 )=A^(k_1+k_2 ) 2. (A^(k_1 ) )^(k_2 )=A^(k_1 k_2 ) 3. (AB)^k≠A^k B^k ○ 性质3的反例（k=2） § A=(■8(0&1@2&3)), B=(■8(1&1@1&0)) § A^2=(■8(2&3@6&11)), B^2=(■8(2&1@1&1)) § AB=(■8(1&0@5&2)), (AB)^2=(■8(1&0@15&4)) § A^2 B^2=(■8(7&5@23&17)) § ⇒(AB)^2≠A^2 B^2 § 由矩阵不满足交换律决定 • 方阵的行列式 ○ 记法 § |A| 或 det⁡(A) ○ 方阵的行列式的性质 1. |A^T |=|A| 2. |kA|=k^n |A| 3. |A+B|≠|A|+|B| 4. |AB|=|A||B| 5. |A^k |=|A|^k 6. |A_1 A_2…A_n |=|A_1 ||A_2 |…|A_n | 7. |AB|=|BA| (若均存在) ○ 性质2的例子 § |A_(3×3) |=2 § |−2A|=(−2)^3 |A|=−16 ○ 性质4的证明（大致思路） § 假设 A=(a_ij )_(n×n), B=(b_ij )_(n×n) § 构造 D=(■8(a_11&…&a_1n&0&…&0@⋮&⋱&⋮&⋮&⋱&⋮@a_n1&…&a_nn&0&…&0@−1&…&0&b_11&…&b_1n@⋮&⋱&⋮&⋮&⋱&⋮@0&…&−1&b_n1&…&b_nn )) § 简单可证 |D|=|A||B|=|AB|$

Shawn Zhong

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