Mathematics Archives - Page 58 of 60 - Shawn Zhong

第14讲线性方程组

$14.1 消元解法 • 增广矩阵 ○ 系数矩阵+常数列 • 简化阶梯形 ○ 阶梯形 ○ 非零首元都是1 ○ 首元上下都为零 • 例1：有一组解 ○ {█(2x_1+2x_2−x_3=6@x_1−2x_2+4x_3=3@5x_1+7x_2+x_3=28)┤⇒{█(2x_1+2x_2−x_3=6@−3x_2+9/2 x_3=0@2x_2+7/2 x_3=13)┤⇒{█(2x_1+2x_2−x_3=6@x_2−3/2 x_3=0@13/2 x_3=13)┤⇒{█(x_1=1@x_2=3@x_3=2)┤ ○ (■8(2&2&−1&6@1&−2&4&3@5&7&1&28))⇒(■8(2&2&−1&6@0&−3&9/2&0@0&2&7/2&13))⇒(■8(2&2&−1&6@0&1&−3/2&0@0&0&13/2&13))⇒(■8(1&0&0&1@0&1&0&3@0&0&1&2)) • 例2：无穷多解 ○ {█(2x_1−x_2+3x_3=1@4x_1−2x_2+5x_3=4@2x_1−x_2+4x_3=−1)┤⇒{█(2x_1−x_2+3x_3=1@−x_3=2@x_3=−2)┤⇒{█(2x_1−x_2+3x_3=1@x_3=−2@0=0)┤⇒{█(x_1=7/2+1/2 x_2@x_3=−2)┤ ○ (■8(2&−1&3&1@4&−2&5&4@2&−1&4&−1))⇒(■8(2&−1&3&1@0&0&−1&2@0&0&1&−2))⇒(■8(2&−1&3&1@0&0&1&−2@0&0&0&0)) • 例3：无解 ○ {█(x_1+x_2+x_3=3@x_1+2x_2+x_3=4@x_1+x_3=1)┤⇒{█(x_1+x_2+x_3=3@x_2=1@−x_2=−2)┤⇒{█(x_1+x_2+x_3=3@x_2=1@0=−1)┤ ○ (■8(1&1&1&3@1&2&1&4@1&0&1&1))⇒(■8(1&1&1&3@0&1&0&1@0&−1&0&−2))⇒(■8(1&1&1&3@0&1&0&1@0&0&0&−1)) 14.2 解的情况 • 方程组{█(c_11 x_1+c_12 x_2+…+c_1n x_n=d_1@ c_22 x_2+…+c_2n x_n=d_2@ ⋮@ c_rr x_r+…+c_rn x_n=d_r@ 0=d_(r+1)@ 0=0@ ⋮@ 0=0)┤⇒(■(c_11&c_12&…&…&c_1n@&c_22&…&…&c_2n@&&…&…&⋮@&&c_rr&…&c_rn@&&&&0@&&&&0) │■8(d_1@d_2@⋮@d_r@d_(r+1)@0)) 解的情况 1. 若 d_(n+1)≠0⇒无解 § 0=d_(r+1)≠0 矛盾 2. 若 d_(n+1)=0 且 r=n⇒唯一解 § {█(c_11 x_1+c_12 x_2+…+c_1n x_n=d_1@ c_22 x_2+…+c_2n x_n=d_2@⋮@ c_nn x_n=d_n )┤ § 从后往前解出后代入可以求得{█(x_n=d_n/c_nn @x_(n−1)=…@⋮@x_1=…)┤ 3. 若 d_(n+1)=0 且 r<n⇒无穷多组解 § {█(c_11 x_1+c_12 x_2+…+c_1n x_n=d_1@ c_22 x_2+…+c_2n x_n=d_2@ ⋮@ c_rr x_r+…+c_rn x_n=d_r@ 0=0)┤ § ⇒{█(c_11 x_1+c_12 x_2+…+c_1r x_r=d_1−c_1n x_n…@⋮@c_rr x_r=d_r−c_rn x_n…)┤，即等式右边均为自由变量 • 用矩阵的秩来表示解的情况 ○ 对于 Ax ⃗=b ⃗，构造增广矩阵 (A,b ⃗ ) ○ 无解 § r(A,b)≠r(A)⇔r(A,b)>r(A)⇔r(A,b)=r(A)+1 ○ 有解 § r(A,b)=r(A) ○ 唯一解 § r(A,b)=r(A)=n ○ 无穷多组解 § r(A,b)=r(A)<n • 齐次线性方程组 Ax ⃗=0 ⃗ ○ 齐次线性方程组一定有零解，故只讨论两种解的情况 ○ 定理1 § 有非零解⇔无穷多解⇔r(A)<n § 只有零解⇔有唯一解⇔r(A)=n ○ 定理2 § 如果方程个数少于未知数个数，则有非零解 § 证明：将方程个数记为 m，则有 r(A)<m<n$

第15讲向量

$15.1 向量及其线性运算 • 什么是向量 ○ 向量 = 矢量 = vector ○ 物理：有大小、方向的量 ○ 几何：有向线段 ○ 代数：有序数组 • 向量的表示 ○ 粗体：α, β, γ ○ 箭头：α ⃗, β ⃗, γ ⃗ ○ 行向量(几何,物理)：α ⃗=(a_1,a_2…a_n ) ○ 列向量(代数)：β ⃗=(■8(b_1@⋮@b_n ))=(b_1…b_n )^T • 注 ○ 零向量：0 ⃗=(0…0)^T ○ 负向量：−α ⃗=(−a_1,−a_2…〖−a〗_n ) ○ 相等、加法、数乘与矩阵相同 • 线性空间：所有 n 维向量组成的集合，记作 Rn，又称为向量空间 ○ 可定义加法，数乘（对加法、数乘封闭） § α ⃗, β ⃗∈Rn⇒α ⃗+β ⃗∈Rn § k∈R⇒kα ⃗∈Rn ○ 八条性质 1. α ⃗+β ⃗=β ⃗+α ⃗ 2. (α ⃗+β ⃗ )+γ ⃗=α ⃗+(β ⃗+γ ⃗ ) 3. α ⃗+(−α ⃗ )=0 ⃗ 4. α ⃗+0 ⃗=α ⃗ 5. (kl) α ⃗=k(lα ⃗ ) 6. (k+l) α ⃗=kα ⃗+lα ⃗ 7. k(α ⃗+β ⃗ )=kα ⃗+kβ ⃗ 8. 1α ⃗=α ⃗ • 线性子空间：S 是线性空间，且 S⊂Rn ○ 自然满足第1，2，5，6，7，8条性质 ○ 需要验证第3，4条性质，以及是否对加法、数乘封闭，即 § α ⃗∈S⇒┴?−α ⃗∈S § 0 ⃗∈S § α ⃗, β ⃗∈S⇒┴? α ⃗+β ⃗∈S § α ⃗∈S,k∈R⇒┴? kα ⃗∈S ○ 由于后两条包含了前两条，故只需验证 § {█(α ⃗, β ⃗∈S ⇒┴? α ⃗+β ⃗∈S@α ⃗∈S,k∈R⇒┴? kα ⃗∈S)┤ 15.2 向量的点积与叉积 • 点积（内积，点乘） ○ 定义 § α ⃗=(a_1,a_2…a_n )^T, β ⃗=(b_1,b_2…b_n )^T § α ⃗⋅β ⃗=∑_(i=1)^n▒〖a_i b_i 〗=a_1 b_1+a_2 b_2+…+a_n b_n § α ⃗⋅β ⃗=α ⃗^T β=(a_1,a_2…a_n )(■8(b_1@b_2@⋮@b_n ))=a_1 b_1+a_2 b_2+…+a_n b_n ○ 性质 § 交换律：α ⃗⋅β ⃗=β ⃗⋅α ⃗ § 结合律：(kα ⃗ )⋅β ⃗=α ⃗⋅(kβ ⃗ )=k(α ⃗⋅β ⃗ ) § 分配律：(α ⃗+β ⃗ )⋅γ ⃗=α ⃗⋅γ ⃗+β ⃗⋅γ ⃗ § α ⃗⋅α ⃗=α ⃗^2≥0 § (α ⃗+β ⃗ )^2=α ⃗^2+β ⃗^2+2α ⃗⋅β ⃗ • 向量的长度（范数） ○ 定义 § ‖■8(α ⃗ )‖=√(α ⃗^2 )=√(a_1^2+a_2^2+…+a_n^2 ) § ‖(■8(AB)) ⃗ ‖=√((x_B−x_A )^2+(y_B−y_A )^2+(z_B−z_A )^2 ) ○ 性质1：‖■8(α ⃗ )‖≥0 § ‖■8(α ⃗ )‖=0⇔ α ⃗=0 ⃗ ○ 性质2：‖■8(kα ⃗ )‖=|k|⋅‖■8(α ⃗ )‖ § 证明略 ○ 性质3：|α ⃗⋅β ⃗ |≤‖■8(α ⃗ )‖⋅‖■8(β ⃗ )‖ § 柯西-施瓦茨不等式 § 施瓦茨不等式 § 柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式 § |∑_(i=1)^n▒〖a_i b_i 〗|≤√(∑_(i=1)^n▒a_i^2 ) √(∑_(i=1)^n▒b_i^2 ) § 构造 γ ⃗=α ⃗+kβ ⃗ (k∈R § 则 γ ⃗^2=(α ⃗+kβ ⃗ )^2=α ⃗^2+k^2 β ⃗^2+2kα ⃗⋅β ⃗≥0 恒成立 § 看作以 k 为未知数的方程，有 Δ=(2α ⃗⋅β ⃗ )^2−4α ⃗^2⋅β ⃗^2≤0 § (α ⃗⋅β ⃗ )^2≤α ⃗^2⋅β ⃗^2 § ⇒|α ⃗⋅β ⃗ |≤‖■8(α ⃗ )‖⋅‖■8(β ⃗ )‖ § （亦可用用均值不等式证明） • 向量的夹角 ○ 定义 § 根据余弦定理 ‖■8(α ⃗−β ⃗ )‖^2=‖■8(α ⃗^2 )‖+‖■8(β ⃗^2 )‖+2‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ cos⁡θ § 又因为 ‖■8(α ⃗−β ⃗ )‖^2=(■8(α ⃗−β ⃗ ))^2=α ⃗^2+β ⃗^2−2α ⃗⋅β ⃗ § ⇒α ⃗^2+β ⃗^2−2α ⃗⋅β ⃗=‖■8(α ⃗^2 )‖+‖■8(β ⃗^2 )‖+2‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ cos⁡θ § ⇒α ⃗^2+β ⃗^2−2α ⃗⋅β ⃗=α ⃗^2+β ⃗^2+2‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ cos⁡θ § ⇒α ⃗⋅β ⃗=‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ cos⁡θ （此为几何学的内积定义） § ⇒cos⁡θ=(α ⃗⋅β ⃗)/‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ § （柯西不等式保证了−1≤(α ⃗⋅β ⃗)/‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ ≤1 ○ 正交（垂直） § θ=π/2⇔α ⃗⋅β ⃗=0 • 叉积（在 R3 中） ○ 几何定义 § {█(大小:‖■8(γ ⃗ )‖=‖■8(α ⃗ )‖‖■8(β ⃗ )‖ sin⁡θ@方向:通过右手法则判断)┤⇒α ⃗×β ⃗=γ ⃗ ○ 代数定义 § α ⃗×β ⃗=(|■8(a_2&a_3@b_2&b_3 )|,−|■8(a_1&a_3@b_1&b_3 )|,|■8(a_1&a_2@b_1&b_2 )|) § α ⃗×β ⃗=|■8(i ̂&j ̂&k ̂@a_1&a_2&a_3@b_1&b_2&b_3 )|, 其中{█(i ̂=(1,0,0)@j ̂=(0,1,0)@k ̂=(0,0,1))┤ ○ 性质 § 反交换律：α ⃗×β ⃗=−β ⃗×α ⃗ § 结合律：(kα ⃗ )×β ⃗=α ⃗×(kβ ⃗ )=k(α ⃗×β ⃗ ) § 分配律：(α ⃗+β ⃗ )×γ ⃗=α ⃗×γ ⃗+β ⃗×γ ⃗ 15.3 空间中的直线与平面 • 空间中的直线 ○ 已知空间内一点 P，以及方向 α ⃗，假设直线上有一点 P_0 ○ 则直线方程可以用向量形式写为 § P ⃗=kα ⃗+(P_0 ) ⃗ (k∈R) ○ 也可以写成分量形式，若 P(x,y,z), P_0 (x_0,y_0,z_0 ),α ⃗=(a_1,a_2,a_3) ○ 可以得到直线的参数方程（显式） § {█(x=x_0+ka_1@y=y_0+ka_2@z=z_0+ka_3 )┤ ○ 将 k 约去可以得到直线的标准方程（隐式） § (x−x_0)/a_1 =(y−y_0)/a_2 =(z−z_0)/a_3 • 例1：求过空间内两点 P_1 (x_1,y_1,z_1 ), P_2 (x_2,y_2,z_2) 的直线方程 ○ α ⃗=(P_2 ) ⃗−(P_1 ) ⃗ ○ ⇒P ⃗=(P_1 ) ⃗+k((P_2 ) ⃗−(P_1 ) ⃗ ) ○ ⇒{█(x=x_1+k(x_2−x_1)@y=y_1+k(y_2−z_1)@z=z_1+k(z_2−z_1))┤ ○ ⇒(x−x_1)/(x_2−x_1 )=(y−y_1)/(y_2−y_1 )=(z−z_1)/(z_2−z_1 ) • 空间中的平面 ○ 确定一个平面需要平面上一个点 P_0 和该平面的法向量 β ⃗ ○ 则平面的方程可以用向量表示为 § (P ⃗−(P_0 ) ⃗ )⋅β ⃗=0 ○ 写成分量形式，若 P(x,y,z), P_0 (x_0,y_0,z_0 ),β ⃗=(b_1,b_2,b_3 ) ○ 可以得到平面方程的标准形式（点法式） § b_1 (x−x_0 )+b_2 (y−y_0 )+b_3 (z−z_0 )=0 ○ 展开后可以得到平面的一般方程 § b_1 x+b_2 y+b_3 z+c=0 § 其中 c=−〖b_1 x〗_0−b_2 x_0−b_3 x_0 • 线性子空间 ○ 直线 § 若空间内的直线过原点 § 则直线方程 P ⃗=kα ⃗+(P_0 ) ⃗ 可以化为 P ⃗=kα ⃗ § 对于直线上任意两点 (P_1 ) ⃗=k_1 α ⃗ , (P_2 ) ⃗=k_2 α ⃗ ，可以得到 § (P_1 ) ⃗+(P_2 ) ⃗=(k_1+k_2)α ⃗ , t(P_1=) ⃗〖(tk〗_1)α ⃗ § 即过原点的直线方程对加法封闭 § 故过原点的直线是 R3 的子空间 ○ 平面 § 若空间内的平面过原点 § 则平面方程 (P ⃗−(P_0 ) ⃗ )⋅β ⃗=0 可以化为 P ⃗⋅β ⃗=0 § 对于平面上任意两点 (P_1 ) ⃗⋅β ⃗=0 , (P_2 ) ⃗⋅β ⃗=0 ，可以得到 § ((P_1 ) ⃗+(P_2 ) ⃗ )⋅β ⃗=0 , (k(P_1 ) ⃗ )⋅β ⃗=0 § 即过原点的平面方程对加法封闭 § 故过原点的平面是 R3 的子空间 • 例2：求过三点 P_1 (x_1,y_1,z_1 ), P_2 (x_2,y_2,z_2), P_3 (x_3,y_3,z_3 ) 的平面方程 ○ 法1：克莱姆法则 § {█(b_1 x_1+b_2 y_1+b_3 z_1+c=0@b_1 x_2+b_2 y_2+b_3 z_2+c=0@b_1 x_3+b_2 y_3+b_3 z_3+c=0@b_1 x+b_2 y+b_3 z+c=0)┤ 有非零解 § ⇒|■8(x_1&y_1&z_1&1@x_2&y_2&z_2&1@x_3&y_3&z_3&1@x&y&z&1)|=0 ○ 法2：向量法 § β ⃗=((P_2 ) ⃗−(P_1 ) ⃗ )×((P_3 ) ⃗−(P_1 ) ⃗ ) § =(x_2−x_1,y_2−y_1,z_2−z_1 )×(x_3−x_1,y_3−y_1,z_3−z_1 ) § =|■8(i ̂&j ̂&k ̂@x_2−x_1&y_2−y_1&z_2−z_1@x_3−x_1&y_3−y_1&z_3−z_1 )|=(A_11,A_12,A_13) § (P ⃗−(P_1 ) ⃗ )⋅β ⃗=0 § ⇒(x−x_1 ) A_11+(y−y_1 ) A_12+(z−z_1 ) A_13=0 § ⇒|■8(x−x_1&y−y_1&z−z_1@x_2−x_1&y_2−y_1&z_2−z_1@x_3−x_1&y_3−y_1&z_3−z_1 )|=0$

第16讲向量组

$16.1 线性组合与线性表示 • 线性方程组用向量形式表示 ○ Ax ⃗=b ⃗ ○ ((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ )(■8(x_1@⋮@x_n ))=(■8(b_1@⋮@b_n )) ○ x_1 (a_1 ) ⃗+…+x_n (a_n ) ⃗=b ⃗ ○ 将 b ⃗ 称为向量组 (a_1 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 的线性组合 ○ 亦可表述为 b ⃗ 被向量组 (a_1 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性表示（表出） • 定理 ○ 对于 A=((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ )_(m×n), β ⃗=Ax ⃗ ○ 若 r(A)=r(A,β ⃗)，则 β ⃗ 可以被 (a_1 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性表出 • 例1：0 ⃗ 可以被任意向量线性表出 ○ 0 ⃗=0⋅(a_1 ) ⃗+0⋅(a_2 ) ⃗+…+0⋅(a_n ) ⃗ • 例2：任意 α ⃗∈Rn 可以被 (e_1 ) ⃗=(■8(1@0@⋮@0)),(e_2 ) ⃗=(■8(0@1@⋮@0))…(e_n ) ⃗=(■8(0@0@⋮@1)) ○ α ⃗=(■8(a_1@⋮@a_n ))=a_1 (e_1 ) ⃗+a_2 (e_2 ) ⃗+…+a_n (e_n ) ⃗ ○ 注： (e_1 ) ⃗…(e_n ) ⃗ 被称为初始单位向量组 • 例3：(a_1 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 可以线性表出 (a_i ) ⃗ ○ (a_i ) ⃗=0⋅(a_1 ) ⃗+…+1⋅(a_i ) ⃗+…+0⋅(a_n ) ⃗ • 向量组线性表示另一个向量组 ○ 将 (β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗…(β_n ) ⃗ 记作 (B)，(a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 记作 (A) ○ 若 (B) 中的每个向量都可以被 (A) 线性表示 ○ 则称 (B) 可以被 (A) 线性表示 • 向量组等价 ○ 反身性：(A) 与 (A) 等价 § (A) 可以用 (A) 线性表示 ○ 对称性：(A) 与 (B) 等价⇔(B) 与 (A) 等价 (A) 可以用 (B) 线性表示 ⇔ (B) 可以用 (A) 线性表示 ○ 传递性：若 (A) 与 (B) 等价，且 (B) 与 (C) 等价，则 (A) 与 C 等价 § 若 (B) 可以被 (A) 线性表示，且 (C) 可以被 (B) 线性表示 § 则 (C) 可以被 (A) 线性表示 ○ 故向量组等价是一种等价关系 16.2 线性相关性 • 定义 ○ k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗+…+k_n (a_n ) ⃗=0 ⃗ ○ 若上式存在 k_1…k_n 不全为零，则称向量组 (a_1 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性相关 ○ 若上式解得 k_1…k_n 全为零，则称向量组 (a_1 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性无关 • 缩写 ○ 线性相关：Linearly Independent，简写为 LI ○ 线性无关：Linearly Dependent，简写为 LD • 例1：一个向量的相关性 ○ 一个向量 α ⃗ 线性相关 ⇔ α ⃗=0 ⃗ ○ 一个向量 α ⃗ 线性无关 ⇔ α ⃗≠0 ⃗ • 例2：0 ⃗,(a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 一定线性相关 ○ 1⋅0 ⃗+0⋅(a_1 ) ⃗+0⋅(a_2 ) ⃗+…+0⋅(a_n ) ⃗=0 ⃗ • 例3：两个非零向量 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗ 线性相关 ○ k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗=0 ⃗ ○ k_1,k_2 中必有一个不为零，若 k_1≠0 ○ 则 (a_1 ) ⃗=−k_2/k_1 (a_2 ) ⃗ ○ 即两个向量成比例 • 定理 ○ 要判断 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 的线性相关性 ○ 即解齐次线性方程组 k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗+…+k_n (a_n ) ⃗=0 ⃗ 有非零解 ○ 构造矩阵 A=( (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ )，则 ○ 当 r(A)<n 时， (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性相关 ○ 当 r(A)=n 时， (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性无关 • 例4：求向量组 (■8(1@2@−1@5)),(■8(2@−1@1@1)),(■8(4@3@−1@11)) 的线性相关性 ○ 构造 A=(■8(1&2&4@2&−1&3@−1&1&−1@5&1&11))，消为阶梯形得 (■8(1&2&4@0&−5&−5@0&0&0@0&0&0)) ○ r(A)=2<3 • 推论1 ○ (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 是 n 个 n 维向量 ○ 构造矩阵 A=( (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ )，则 ○ 当 |A|=0 时，矩阵不满秩，即 r(A)<n， (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性相关 ○ 当 |A|≠0 时，矩阵满秩，即 r(A)=n， (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性无关 • 推论2 ○ 向量个数大于维数，则线性相关 ○ r(A)≤维数<n 16.3 相关性定理 • 定理1 ○ 内容 § 若部分组线性相关，则原向量组线性相关 ○ 证明 § 原向量组 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 中取出部分组 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_s ) ⃗ § 若部分组 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 线性相关，即 § k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗+…+k_s (a_s ) ⃗=0 ⃗ § k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗+…+k_s (a_s ) ⃗+0⋅(a_(s+1) ) ⃗+…+0⋅(a_n ) ⃗=0 ⃗ § 即原向量组 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗ 线性相关 ○ 逆反 § 若原向量组线性无关，则部分组都线性无关 • 定理2 ○ 内容 § 若砍掉部分分量后线性无关，则原向量组线性无关 ○ 逆反 § 原向量组线性相关，则砍掉部分分量后线性相关 ○ 例 § (■8(1@0@5))与(■8(0@1@2))线性无关，由于 (■8(1@0))与(■8(0@1))线性无关 • 定理3 ○ 内容 § 向量组线性相关，则其中至少一个向量可被其他线性表示 § 若 (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗ (s≥2) 线性相关，则必定存在 § (a_i ) ⃗=k_1 (a_1 ) ⃗+…+k_(i−1) (a_(i−1) ) ⃗+k_(i+1) (a_(i+1) ) ⃗+…k_s (a_s ) ⃗ ○ 证明 § 若 (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗ (s≥2) 线性相关 § 则 k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗+…+k_s (a_s ) ⃗=0 ⃗ 其中必有一个 k_i≠0 § 移项得 (a_i ) ⃗=−k_1/k_i (a_1 ) ⃗…−k_s/k_i (a_s ) ⃗ • 定理4 ○ 内容 § 若 (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 线性无关，加上 β ⃗ 后的向量组 (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗,β ⃗ 线性相关 § 则 β ⃗ 可被 (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 线性表出，且表示方法唯一 ○ 证明可以被线性表出 § (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗,β ⃗ 线性相关 § 即 k_1 (a_1 ) ⃗+k_2 (a_2 ) ⃗+…+k_s (a_s ) ⃗+k_(s+1) β ⃗=0 ⃗ § 若 k_(s+1)=0，则 (a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 线性相关，与题设矛盾 § 即 k_(s+1)≠0 § ⇒β ⃗=−k_1/k_(s+1) (a_1 ) ⃗…−k_s/k_(s+1) (a_s ) ⃗ ○ 证明唯一性 § 若 β ⃗ 有两种表示方法 § β ⃗=l_1 (a_1 ) ⃗+…+l_s (a_s ) ⃗ § β ⃗=m_1 (a_1 ) ⃗+…+m_s (a_s ) ⃗ § 分别相减得 § 0 ⃗=(l_1−m_1 ) (a_1 ) ⃗+…(l_s−m_s ) (a_s ) ⃗ § ∵(a_1 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 线性无关 § ∴{█(l_1−m_1=0@⋮@l_s−m_s=0)┤⇒{█(l_1=m_1@⋮@l_s=m_s )┤ § 即 β ⃗ 的表示方法唯一 • 定理5 ○ 内容 § 将 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 记作 (A)，(β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗…(β_t ) ⃗ 记作 (B) § 若 (B) 可以被 (A) 表出，且 t s，则 (B) 线性相关 ○ 证明略 ○ 逆反 § 若 (B) 可以被 (A) 表出，且 (B) 线性无关，则 t≤s • 推论 ○ 内容 § 若 (B) 与 (A) 等价，且线性无关，则 s=t ○ 证明 § (B) 可以被 (A) 线性表示 ⇒t≤s § (A) 可以被 (B) 线性表示 ⇒s≤t § 即 s=t$

第17讲向量组的秩

$17.1 极大无关组 • 定义 ○ 部分组线性无关，且加上任何一个向量后即线性相关 • 例子 ○ (■8(0@1)),(■8(1@0)),(■8(1@1)) 中的极大无关组为 (■8(0@1)),(■8(1@0)) 和 (■8(1@0)),(■8(1@1)) 和 (■8(0@1)),(■8(1@1)) • 性质 ○ 极大无关组不一定唯一 ○ 向量组线性无关，则其极大无关组为自身 ○ 如果向量组只有 0 ⃗ ，则不存在极大无关组 • 定理1 ○ 内容 § 极大无关组与原向量组等价 ○ 证明 § 显然极大无关组可以被原向量组表示 § 以下证明原向量组可以被极大无关组表示 § 将原向量组记为 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_n ) ⃗，极大无关组记为 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_s ) ⃗ § 从原向量组中取出 (α_i ) ⃗ § 若 i≤s，则显然 (α_i ) ⃗ 可以被极大无关组表出 § 若 i s，根据定义，极大无关组加上一个向量后即线性相关 § 即 (α_i ) ⃗=k_1 α ⃗_1+…+k_s α ⃗_s • 定理2 ○ 任意两个极大无关组的向量个数相同 ○ 证明可由第16讲定理5的推论得到 • 向量组的秩 ○ 极大无关组中向量的个数 • 定理3： ○ 内容 § 任何一个线性无关的部分组都可扩充为极大无关组 ○ 极大无关组的一种求法 § 可以先从向量组中取出一个非零向量 § 再依次添加所有线性无关向量 § 既可以通过扩充的方法得到极大无关组 • 定理4 ○ 内容 § 若部分组线性无关，且向量个数=秩，则部分组就是极大无关组 ○ 证明 § 假设部分组不是极大无关组 § 则添加某向量后部分组仍旧线性无关 § 即向量个数大于秩，矛盾 § 故部分组就是极大无关组 • 练习：求 (α_1 ) ⃗=(■8(2@4@2)),(α_2 ) ⃗=(■8(1@1@0)),(α_3 ) ⃗=(■8(2@3@1)),(α_4 ) ⃗=(■8(3@5@2)) 的极大无关组 ○ 构造 A=((α_1 ) ⃗,(α_2 ) ⃗,(α_3 ) ⃗,(α_4 ) ⃗)=(■8(2&1&2&3@4&1&3&5@2&0&1&2)) ○ 由于初等行变换不改变列向量之间的线性关系 ○ A→(■8(2&1&2&3@0&−1&−1&−1@0&0&0&0))→(■8(1&0&1/2&1@0&1&1&1@0&0&0&0))=((β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗,(β_3 ) ⃗,(β_4 ) ⃗) ○ 显然 (β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗ 是极大无关组，且{█((β_3 ) ⃗=1/2 (β_1 ) ⃗+(β_2 ) ⃗@(β_4 ) ⃗=(β_1 ) ⃗+(β_2 ) ⃗ )┤ ○ 故 (α_1 ) ⃗,(α_2 ) ⃗ 是极大无关组，且{█((α_3 ) ⃗=1/2 (α_1 ) ⃗+(α_2 ) ⃗@(α_4 ) ⃗=(α_1 ) ⃗+(α_2 ) ⃗ )┤ 17.2 向量组的秩与矩阵的秩 • 向量组的秩 ○ 极大无关组中向量的个数 • 矩阵的秩 ○ 非零子式的最高阶数 • 列秩（列向量组的秩） ○ A=((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ ) • 行秩（行向量组的秩） ○ A=(■8((β_1 ) ⃗@⋮@(β_n ) ⃗ )) • 定理 ○ 内容 § r(A)=行秩=列秩 ○ 证明列向量组线性无关 § A=(■8(a_11&…&a_1r&…&a_1n@…&…&…&…&…@a_r1&…&a_rr&…&…@…&…&…&…&…@a_m1&…&…&…&a_mn )) § 假设 r(A)=r，即存在 r 阶子式不为零 § 假设 r 阶子式位于左上方，即 |■8(a_11&…&a_1r@…&…&…@a_r1&…&a_rr )|≠0 § ⇒向量组(■8(a_11@⋮@a_r1 )),(■8(a_12@⋮@a_r2 ))…(■8(a_1r@⋮@a_rr )) 线性无关 § 即向量组 (■8(a_11@⋮@a_r1@⋮@a_m1 )),(■8(a_12@⋮@a_r2@⋮@a_m2 ))…(■8(a_1r@⋮@a_rr@⋮@a_mr )) 线性无关 ○ 证明列向量组极大 § 即证明 (■8(a_11@⋮@a_m1 )),(■8(a_12@⋮@a_m2 ))…(■8(a_1r@⋮@a_mr )),(■8(a_(1,r+1)@⋮@a_(m,r+1) )) 线性相关 § 假设线性无关 § 构造 A_r=(■8(a_11&a_12&…&a_(1,r+1)@a_21&a_22&…&a_(2,r+1)@⋮&⋮&⋮&⋮@a_m1&a_m2&…&a_(m,r+1) )) § 由于线性无关，有 r(A_r )=r+1 § 即 A_r 存在 r+1 阶的子式非零 § 因为 A_r 取自 A，所以 A 也存在 r+1 阶的子式非零 § 与 r(A)=r 矛盾 § 即列向量组是极大无关组 ○ 同理可证 r(A)=行秩 17.3 关于秩的重要定理 • 定理1 ○ 内容 § 将 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 记作 (A)，(β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗…(β_t ) ⃗ 记作 (B) § 若 (B) 可以被 (A) 表出，则 r(B)≤r(A) ○ 证明 § (B) 可以被 (A) 表出 § (B) 的极大无关组可以被 (A) 的极大无关组表出 § r(B)≤r(A) ○ 推论 § 将 (a_1 ) ⃗,(a_2 ) ⃗…(a_s ) ⃗ 记作 (A)，(β_1 ) ⃗,(β_2 ) ⃗…(β_t ) ⃗ 记作 (B) § 若 (A) 与 (B) 等价，则 r(B)=r(A) • 定理2 ○ 内容 § 对于矩阵 A_(m×n), B_(n×p)，有 r(AB)≤min⁡(r(A),r(B)) ○ 证明 § A=((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ ), B=(■8(b_11&…&b_1p@⋮&⋮&⋮@b_n1&…&b_np )) § AB=(b_11 (α_1 ) ⃗+…b_n1 (α_n ) ⃗ … b_1p (α_1 ) ⃗+…b_np (α_n ) ⃗ )=((γ_1 ) ⃗…(γ_p ) ⃗ ) § 即 (γ_i ) ⃗ 可以表示为 (α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ 的线性组合 § (γ_i ) ⃗=k_i1 (α_1 ) ⃗+…+k_in (α_n ) ⃗ § 根据定理1， r(AB)≤r(A) § 同理 r(AB)≤r(B) § 即 r(AB)≤min⁡(r(A),r(B)) • 定理3 ○ 内容 § 假设 A 可逆，则 r(AB)=r(B), r(CA)=r(C) ○ 证明 § 由定理2可得 r(AB)≤r(B) § 又因为 r(B)=r(A^(−1) AB)≤r(AB) § 所以 r(AB)=r(B) § 同理可证 r(CA)=r(C) • 定理4 ○ 内容 § r(A+B)≤r(A)+r(B) ○ 证明 § A=((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ ), B=((β_1 ) ⃗…(β_n ) ⃗ ) § A+B=((α_1 ) ⃗+(β_1 ) ⃗,…,(α_n ) ⃗+(β_n ) ⃗ ) § r(A+B)≤r(A,B)=r((α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗,(β_1 ) ⃗…(β_n ) ⃗ ) § 若 (α_1 ) ⃗…(α_n ) ⃗ 的极大无关组为 (α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗，(β_1 ) ⃗…(β_n ) ⃗ 的极大无关组为(β_1 ) ⃗…(β_t ) ⃗ § r(A+B)≤r((α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗,(β_1 ) ⃗…(β_t ) ⃗ )≤s+t=r(A)+r(B) • 定理5：西尔维斯特(Sylvester)不等式 ○ 内容 § r(A_(m×n) B_(n×p) )≥r(A)+r(B)−n ○ 证明 § r(A)+r(B)=r(■8(A&0@0&B))≤r(■8(A&0@−I&B)) § =r(■8(A&AB@−I&0))=r(■8(0&AB@−I&0))=r(AB)+r(−I)=r(AB)−n § 即 r(AB)≥r(A)+r(B)−n • 推论 ○ 内容 § A 列满秩 ⇒ r(AB)=r(B) § A 行满秩 ⇒ r(CA)=r(C) ○ 证明 § A 列满秩 ⇒ r(A_(m×n) )=n § r(AB)≤r(B) § r(AB)≥r(A)+r(B)−n=r(B) § ⇒r(AB)=r(B) § 同理可证 A 行满秩 ⇒ r(CA)=r(C)$

第18讲线性方程组解的结构

$18.1 齐次线性方程组解的结构 • 将齐次线性方程组 Ax ⃗=0 ⃗ 的解集记为 S (Solution Set) • 解集的性质 ○ S⊆R^n ○ 对加法封闭 § 设 (ξ_1 ) ⃗∈S, (ξ_2 ) ⃗∈S § 代入得 A(ξ_1 ) ⃗=0, A(ξ_2 ) ⃗=0 § ⇒A((ξ_1 ) ⃗+(ξ_2 ) ⃗)=0 § 即 (ξ_1 ) ⃗+(ξ_2 ) ⃗∈S ○ 对数乘封闭 § 设 ξ ⃗∈S, k∈R § Aξ ⃗=0⇒kAξ ⃗=0⇒A(kξ ⃗ )=0 § 即 kξ ⃗∈S ○ S 是 R^n 的子空间 § (ξ_1 ) ⃗∈S,…, (ξ_2 ) ⃗∈S § ⇒c_1 (ξ_1 ) ⃗+…c_t (ξ_t ) ⃗∈S ○ S 是线性空间 § r(A)=n⇒S={0 ⃗ } § r(A)<n⇒子空间 18.2 基础解系 • 基础解系 ○ 齐次线性方程组解集的极大无关组 • 定理1 ○ 内容 § r(A)=n⇒无基础解系 § r(A)<n⇒基础解系中向量的个数 r(S)=n−r(A) ○ 例题 § {█(x_1−x_2+5x_3−x_4=0@x_1+x_2−2x_3+3x_4=0@3x_1−x_2+8x_3+x_4=0@x_1+3x_2−9x_3+7x_4=0)┤ § ⇒(■8(1&−1&5&−1@1&1&−2&3@3&−1&8&1@1&3&−9&7)) →┴最简阶梯形 (■8(1&0&3/2&1@0&1&−7/2&2@0&0&0&0@0&0&0&0)) § ⇒{█(x_1+3/2 x_3+x_4=0@x_2−7/2 x_3+2x_4=0)⇒{█(x_1=−3/2 x_3−x_4@x_2=7/2 x_3−2x_4 )┤┤ ○ 注 § 其中 x_1, x_2 被称为约束变量，x_3, x_4 被称为自由变量 § 约束变量为最简阶梯形中首元一对应的变量 § 约束变量的个数为非零行的个数 r(A) § 自由变量的个数为 n−r(A)，即为解集 S 的秩 r(S) § 将(■8(x_3@x_4 ))=(■8(1@0))代入 x_1,x_2 得到 (ξ_1 ) ⃗=(■8(−3/2@7/2@1@0)) § 将(■8(x_3@x_4 ))=(■8(0@1))代入 x_1,x_2 得到 (ξ_2 ) ⃗=(■8(−1@−2@0@1)) § 则 (ξ_1 ) ⃗, (ξ_2 ) ⃗ 构成基础解系 § 即原方程的任意一个解 (■8(a_1@a_2@a_3@a_4 )) 都可以写成 a_3 (ξ_1 ) ⃗+a_4 (ξ_2 ) ⃗ • 定理2 ○ 内容 § A_(m×n) B_(n×p)=0⇒r(A)+r(B)≤n ○ 证一 § 令 B=((β_1 ) ⃗…(β_p ) ⃗ ) § AB=A((β_1 ) ⃗…(β_p ) ⃗ )=(A(β_1 ) ⃗, …,A(β_p ) ⃗ )=0 § ⇒A(β_1 ) ⃗=0,…,A(β_p ) ⃗=0 § 将 Ax ⃗=0 的解集记为 S § 则 (β_1 ) ⃗,…,(β_s ) ⃗∈S § 即 (β_1 ) ⃗,…,(β_s ) ⃗ 可以被 S 表出 § r(B)≤r(S)=n−r(A) § ⇒r(A)+r(B)≤n ○ 证二 § 根据西尔维斯特(Sylvester)不等式 § r(A_(m×n) B_(n×p) )≥r(A)+r(B)−n § 0 r(A)+r(B)−n § ⇒r(A)+r(B)≤n 18.3 非齐次线性方程组解的结构 • 导出组 ○ Ax ⃗=b ⃗≠0 的导出组为 Ax ⃗=0 • T 的性质 ○ 将 Ax ⃗=b ⃗ 的解集记为 T，Ax ⃗=0 的解集记为 S ○ T 不对加法封闭：已知 (η_1 ) ⃗∈T, (η_2 ) ⃗∈T，则 (η_1 ) ⃗+(η_2 ) ⃗∉T § (η_1 ) ⃗∈T, (η_2 ) ⃗∈T § ⇒A(η_1 ) ⃗=b ⃗, A(η_2 ) ⃗=b ⃗ § ⇒A((η_1 ) ⃗+(η_2 ) ⃗ )=2b ⃗≠b ⃗ ○ T 不对数乘封闭：已知 η ⃗∈T，则 kη ⃗∉T (k≠1) § η ⃗∈T § ⇒Aη ⃗=b ⃗ § 当 k≠1 时，Akη ⃗=kb ⃗≠b ⃗ ○ 已知 η ⃗∈T, ξ ⃗∈S，则 η ⃗+ξ ⃗∈T § η ⃗∈T, ξ ⃗∈S § Aη ⃗=b ⃗, Aξ ⃗=0 ⃗ § A(η ⃗+ξ ⃗ )=b ⃗+0 ⃗=b ⃗ ○ 已知 (η_1 ) ⃗∈T, (η_2 ) ⃗∈T，则 (η_1 ) ⃗−(η_2 ) ⃗∈S § (η_1 ) ⃗∈T, (η_2 ) ⃗∈T § ⇒A(η_1 ) ⃗=b ⃗, A(η_2 ) ⃗=b ⃗ § ⇒A((η_1 ) ⃗−(η_2 ) ⃗ )=b ⃗−b ⃗=0 ⃗ • 定理 ○ 内容 § (η_0 ) ⃗ 是 Ax ⃗=b ⃗ 的一个特解，ξ ⃗ 是 Ax ⃗=0 的解 § 如果 ξ ⃗ 取变 Ax ⃗=0 所有的解 § 则 (η_0 ) ⃗+ξ ⃗ 取变 Ax ⃗=b ⃗ 所有的解 ○ 证明 § 假设 η ⃗ 是 Ax ⃗=b ⃗ 的任意解 § 则 η ⃗−(η_0 ) ⃗∈S § 即在 S 中存在 ξ ⃗，使得 η ⃗−(η_0 ) ⃗=ξ ⃗ § 即 η ⃗=(η_0 ) ⃗+ξ ⃗ ○ 故 T 被称为仿射空间(affine) • 例子：{█(x_1+x_2+x_3+x_4=3@x_1+2x_2+x_3=4)┤ ○ (■8(1&1&1&1@1&2&1&0) │ ■8(3@4))→(■8(1&0&1&2@0&1&0&−1) │ ■8(2@1))⇒{█(x_1=−x_3−2x_4+2@x_2=x_3+1)┤ ○ 令 (■8(x_3@x_4 ))=(■8(0@0))，得到一特解 (η_0 ) ⃗=(■8(2@1@0@0)) ○ 计算导出组 {█(x_1+x_2+x_3+x_4=0@x_1+2x_2+x_3=0)┤ 的解为 {█(x_1=−x_3−2x_4@x_2=x_3 )┤ ○ 令 (■8(x_3@x_4 ))=(■8(1@0)),(■8(0@1))，得到 (ζ_1 ) ⃗=(■8(−1@0@1@0)), (ζ_2 ) ⃗=(■8(−2@1@0@1)) ○ η ⃗=(η_0 ) ⃗+c_1 (ζ_1 ) ⃗+c_2 (ζ_2 ) ⃗=(■8(2@1@0@0))+c_1 (■8(−1@0@1@0))+c_2 (■8(−2@1@0@1))$

Shawn Zhong

Shawn Zhong

Mathematics

第14讲线性方程组

第15讲向量

第16讲向量组

第17讲向量组的秩

第18讲线性方程组解的结构

Search

WeChat Account

Mathematics

第14讲 线性方程组

第15讲 向量

第16讲 向量组

第17讲 向量组的秩

第18讲 线性方程组解的结构

Search

WeChat Account

第14讲线性方程组

第15讲向量

第16讲向量组

第17讲向量组的秩

第18讲线性方程组解的结构