第19讲 特征值与特征向量 Jul 09, 2017 Shawn Linear Algebra No comments yet 第20讲 相似矩阵与矩阵对角化 Jul 10, 2017 Shawn Linear Algebra No comments yet 第21讲 实对称矩阵 Jul 12, 2017 Shawn Linear Algebra No comments yet 第22讲 二次型 Jul 13, 2017 Shawn Linear Algebra No comments yet 第23讲 正定二次型 Jul 13, 2017 Shawn Linear Algebra No comments yet 1 … 57 58 59 60
![19.1 概念 • 引入 ○ 对于矩阵A_(m×n) 是，否存在一个数 λ 和非零向量 α ⃗，使得 Aα ⃗=λα ⃗ ○ α ⃗ 被称为特征向量(eigenvector) ○ λ 被称为特征值 (eigenvalue) • 特征值的解法 ○ Aα ⃗=λα ⃗ 移项后得到齐次线性方程组 ○ (λI−A) α ⃗=0 ○ 要使上式有非零解，需满足 |λI−A|=0 ○ 即 |■8(λ−a_11&−a_12&…&〖−a〗_1n@−a_21&〖λ−a〗_22&…&−a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@−a_n1&〖−a〗_n2&…&λ−a_nn )|=0 ○ 展开后得到 λ^n+(−a_11−a_22…−a_nn ) λ^(n−1)+…=0 ○ 上式被称为特征方程，等号左边被称为特征多项式 • 步骤 1. |λI−A|=0⇒求出 λ_1…λ_s 2. |λ_i I−A| α ⃗=0⇒求基础解系，求得的 α ⃗ 称为属于 λ_i 的特征向量 • 练习：A=(■8(3&1@5&−1)) ○ |λI−A|=(■8(λ−3&−1@−5&λ+1))=0 ○ λ^2−2λ−9=0 ○ λ_1=4 or λ_2=−2 ○ 当 λ_1=4 时 § |4I−A| α ⃗=(■8(1&−1@−5&5)) α ⃗=0 § |4I−A|=(■8(1&−1@−5&5))→(■8(1&−1@0&0)) § ⇒x_1=x_2 § ⇒α ⃗=c(■8(1@1)) ○ 当 λ_1=−2 时 § |4I−A|=(■8(−5&−1@−5&−1))→(■8(−5&−1@0&0)) § ⇒〖−5x〗_1=x_2 § ⇒α ⃗=c(■8(1@−5)) 19.2 几个例子 • 例1：A=(■8(1&2&2@2&1&2@2&2&1)) ○ |λI−A|=|■8(λ−1&−2&−2@−2&λ−1&−2@−2&−2&λ−1)|=|■8(λ−5&−2&−2@λ−5&λ−1&−2@λ−5&−2&λ−1)| ○ =(λ−5)|■8(1&−2&−2@1&λ−1&−2@1&−2&λ−1)|=(λ−5)|■8(1&−2&−2@0&λ+1&0@0&0&λ+1)| ○ =(λ−5) (λ+1)^2=0 ○ 即 λ_1=5,λ_2=λ_3=−1 ○ 当 λ=5 时 § λI−A=(■8(λ−1&−2&−2@−2&λ−1&−2@−2&−2&λ−1))=(■8(4&−2&−2@−2&4&−2@−2&−2&4)) § (■8(4&−2&−2@−2&4&−2@−2&−2&4))(■8(x_1@x_2@x_3 ))=0⇒α ⃗=c(■8(1@1@1)) ○ 当 λ=−1 时 § α ⃗=c(■8(−1@0@1)) • 例2：A=(■(a&&@&⋱&@&&a)) ○ |λI−A|=|■(λ−a&&@&⋱&@&&λ−a)|=0 ○ (λ−a)^n=0 ○ ⇒λ_1=…=λ_n=a ○ λI−A=0a ⃗=0 ○ α ⃗∈Rn ○ 故 α ⃗=c_1 (e_1 ) ⃗+c_2 (e_2 ) ⃗+…+c_n (e_n ) ⃗ ○ 其中 (e_1 ) ⃗=(1,0,…0)^T, (e_2 ) ⃗=(0,1,…0)^T…(e_n ) ⃗=(0,0,…1)^T • 例3 ○ 平面直角坐标系中(■8(x@y))绕原点旋转 θ 得到(■8(x′@y)) ○ 有 (■8(x′@y))=A(■8(x@y))，其中 A=(■8(cosθ&−sinθ@sinθ&cosθ)) ○ 求 A 的特征向量 ○ |λI−A|=|■8(λ−cosθ&sinθ@−sinθ&λ−cosθ)|=λ^2−2λcosθ+1=0 ○ 当 cosθ≠±1，即 θ≠kπ 时，无实根 ○ 当 cosθ=1，即 θ=2kπ 时 § λ=1 § ⇒λI−A=0 § ⇒α ⃗∈Rn ○ 当 cosθ=−1，即 θ=(2k+1)π 时 § λ=−1 § ⇒λI−A=0 § ⇒α ⃗∈Rn 19.3 基本性质 • 性质1 ○ 内容 § 若 λ_0 是 A_(n×n) 的特征值，则 A^2 有一个特征值 λ_0^2 ○ 证明 § Aα ⃗=λ_0 α ⃗ § A(Aα ⃗)=A(λ_0 α ⃗) § A^2 α ⃗=λ_0 Aα ⃗=λ_0^2 α ⃗ § ⇒λ_0^2 是 A 的特征值 • 性质2 ○ 内容 § 若 λ_0 是 A_(n×n) 的特征值，则 kI−A 有特征值 k−λ_0 ○ 证明 § (kI−A) α ⃗=kIα ⃗−Aα ⃗=kα ⃗−λ_0 α ⃗=(k−λ_0 ) α ⃗ ○ 推广 ○ 关于 A 的任意矩阵多项式 a_n A^n+a_(n−1) A^(n−1)+…+a_1 A+a_0 I ○ 都有特征值 a_n λ_0^n+a_(n−1) λ_0^(n−1)+…+a_1 λ_0+a_0 • 性质3 ○ 内容 § 若 λ_0 是可逆矩阵 A_(n×n) 的特征值，则 A^(−1) 有特征值 1/λ_0 ○ 证明 § Aα ⃗=λ_0 α ⃗ § A^(−1) (Aα ⃗ )=A^(−1) (λ_0 α ⃗ ) § α ⃗=λ_0 A^(−1) α ⃗ § 1/λ_0 α ⃗=A^(−1) α ⃗ ○ 推广 § 若 λ_0 是可逆矩阵 A_(n×n) 的特征值，则 A^∗ 有特征值 |A|/λ_0 § A^∗ α ⃗=|A| A^(−1) α ⃗=|A|/λ_0 α ⃗ • 定理1 ○ 内容 § 若 A 奇异，则 A 有特征值 0 § 若 A 非奇异，则 A 特征值非零 ○ 证明 § |λI−A|=0 § 若 A 奇异，即 |A|=0，则显然 λ=0 是上式的根 § |A|=0⇔λ=0 • 定理2 ○ 内容 § A 与 A^T 有相同的特征值 § 注：特征向量一般不相同 ○ 证明 § |λI−A|=|(λI−A)^T |=|λI−A^T |=0 • 定理3 ○ 内容 § 属于不同特征值的特征向量线性无关 ○ 证明（两组特征向量） § 假设 A(α_1 ) ⃗=λ_1 (α_1 ) ⃗, A(α_2 ) ⃗=λ_2 (α_2 ) ⃗ § k_1 (α_1 ) ⃗+k_2 (α_2 ) ⃗=0 § A(k_1 (α_1 ) ⃗+k_2 (α_2 ) ⃗ )=0 § k_1 A(α_1 ) ⃗+k_2 A(α_2 ) ⃗=0 § k_1 λ_1 (α_1 ) ⃗+k_2 λ_2 (α_2 ) ⃗=0 § 联立 {█(k_1 (α_1 ) ⃗+k_2 (α_2 ) ⃗=0@k_1 λ_1 (α_1 ) ⃗+k_2 λ_2 (α_2 ) ⃗=0)┤⇒k_1 (λ_1−λ_2 ) (α_1 ) ⃗=0 § 又因为 k_1≠0, (α_1 ) ⃗≠0 § 所以 k_1=0 § 代回 k_1 (α_1 ) ⃗+k_2 (α_2 ) ⃗=0 得 k_2=0 § k_1 (α_1 ) ⃗+k_2 (α_2 ) ⃗=0 的解为 {█(k_1=0@k_2=0)┤⇒(α_1 ) ⃗ 与 (α_2 ) ⃗ 线性无关 ○ 证明 § 假设 A(α_3 ) ⃗=λ_2 (α_3 ) ⃗ § k_1 (α_1 ) ⃗+k_2 (α_2 ) ⃗+k_3 (α_3 ) ⃗=0 § A(k_1 (α_1 ) ⃗+k_2 (α_2 ) ⃗+k_3 (α_3 ) ⃗ )=0 § k_1 λ_1 (α_1 ) ⃗+k_2 λ_2 (α_2 ) ⃗+k_3 λ_3 (α_3 ) ⃗=0 § 联立 {█(k_1 (α_1 ) ⃗+k_2 (α_2 ) ⃗+k_3 (α_3 ) ⃗=0@k_1 λ_1 (α_1 ) ⃗+k_2 λ_2 (α_2 ) ⃗+k_3 λ_3 (α_3 ) ⃗=0)┤ § ⇒k_1 (λ_1−λ_3 ) (α_1 ) ⃗+k_2 (λ_2−λ_3 ) (α_2 ) ⃗=0 § ⇒k_1=0, k_2=0 § 代回 k_1 (α_1 ) ⃗+k_2 (α_2 ) ⃗+k_3 (α_3 ) ⃗=0 得 k_3=0 § 以此类推可以得到 (α_1 ) ⃗…(α_s ) ⃗ 均线性无关 • 根与系数的关系 ○ 对于方程 x^n+a_(n−1) x^(n−1)+…+a_1 x+a_0=0 有 § x^n+a_(n−1) x^(n−1)+…+a_1 x+a_0 § =(x−x_1 )(x−x_2 )…(x−x_n ) § =x^n−(x_1+x_2+…+x_n ) x^(n−1)+(x_1 x_2+x_1 x_3+…x_(n−1) x_n ) x^(n−2)+…+(−1)^n x_1 x_2…x_n ○ 对比系数得根与系数的关系 § x_1+x_2+…+x_n=a_(n−1) § x_1 x_2…x_n=(−1)^n a_0 § x_1 x_2+x_1 x_3+…x_(n−1) x_n=a_(n−2) • 定理4 ○ 内容 § 若 A_(n×n) 有特征值 λ_1…λ_n § 则 ∑_(i=1)^n▒λ_i =∑_(i=1)^n▒a_ii , ∏_(i=1)^n▒λ_i =|A| ○ 备注 § 矩阵对角线上的元素 a_ii 之和被称为矩阵的迹 ○ 证明 § |λI−A|=0 § |■8(λ−a_11&−a_12&…&〖−a〗_1n@−a_21&〖λ−a〗_22&…&−a_2n@⋮&⋮&⋮&⋮@−a_n1&〖−a〗_n2&…&λ−a_nn )|=0 § λ^n−(a_11+a_22+…+a_nn ) λ^(n−1)+…+a_1 λ+a_0=0 § 根据根与系数的关系有 § λ_1+λ_2+…+λ_n=a_11+a_22+…+a_nn § λ_1 λ_2…λ_n=(−1)^n a_0 § 将 λ=0 代入 |λI−A|=λ^n…+a_1 λ+a_0 得 a_0=(−1)^n |A| § 故 λ_1 λ_2…λ_n=(−1)^n a_0=(−1)^n (−1)^n |A|=|A| • 例题 ○ A=(■8(1&−1&0@2&x&0@4&2&1))，已知 λ_1=1,λ_2=2，求 x 和 λ_3 ○ 法一 § {█(λ_1+λ_2+λ_3=1+1+x@λ_1 λ_2 λ_3=|A|=x+2)┤⇒{█(λ_3=3@x=4)┤ § 但不完全，需代回检验 ○ 法二 § |λI−A|=0 § |■8(λ−1&1&0@−2&λ−x&0@−4&−2&λ−1)|=0 § (λ−1)(■8(λ−1&1@−2&λ−x))=(λ−1)[(λ−1)(λ−x)+2]=0 § 将 λ_2=2 代入得 § (2−1)(2−x)+2=0 § ⇒x=4 § (λ−1)[(λ−1)(λ−4)+2]=0 § ⇒(λ−1)(λ−2)(λ−3)=0 § ⇒λ_3=3](https://shawnzhong.com/wp-content/uploads/2017/08/img_5987404b5acdd.png)
